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Tesi etd-11132018-132104


Thesis type
Tesi di laurea magistrale
Author
FORGIONE, SABRINA
URN
etd-11132018-132104
Title
Due applicazioni del calcolo di Malliavin ai metodi Monte-Carlo in finanza: greche e speranza condizionale
Struttura
MATEMATICA
Corso di studi
MATEMATICA
Commissione
relatore Prof. Pratelli, Maurizio
Parole chiave
  • riduzione della varianza
  • speranza condizionale
  • greche
  • Metodi Monte-Carlo
  • Calcolo di Malliavin
Data inizio appello
14/12/2018;
Consultabilità
secretata d'ufficio
Riassunto analitico
In finanza matematica, il prezzo di una opzione viene espresso nel seguente modo: E[f(X)], dove f è una funzione (chiamata payoff) ed X è un processo stocastico soluzione di una equazione differenziale stocastica del tipo dX_t=b(X_t)dt+sigma(X_t)dW_t (che rappresenta l'attivo sul quale l'opzione è iscritta). Le applicazioni finanziarie richiedono di calcolare la sensibilità (dunque le derivate) di tale prezzo rispetto ai parametri che lo compongono, ovvero b, sigma, il dato iniziale della EDS; questi oggetti prendono il nome di greche, perché si esprimono tramite lettere greche. Tuttavia, essi non sono quasi mai calcolabili in maniera esplicita, e si ha dunque bisogno di ricorrere ad approssimazioni: il metodo utilizzato in questo contesto è il metodo Monte-Carlo.
In questo elaborato viene mostrato come, tramite il calcolo di Malliavin, si arriva ad una espressione delle greche del tipo E[f(X) h] (dove h è una variabile aleatoria chiamata peso) che, non coinvolgendo derivate (per le quali solitamente si utilizza il metodo alle differenze finite), consente di ottenere un risultato di approssimazione migliore. Poiché il peso generato dalla formula di integrazione per parti di Malliavin non è unico, verrà discussa la sua ottimalità nel senso di riduzione della varianza, in quanto la grandezza di quest'ultima risulta essere inversamente proporzionale alla velocità di convergenza del metodo. Vedremo inoltre come, 'localizzando' la formula di integrazione per parti (ovvero utilizzandola solo nei punti di singolarità della funzione payoff), si riduce di molto la varianza.
Infine, verrà mostrata una formula di rappresentazione per oggetti del tipo E[f(X)|X_t=x] (che in finanza indicano prezzi di opzioni più complesse) in modo da consentirne l'approssimazione.
I risultati teorici sono stati verificati sperimentalmente, utilizzando Matlab.
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