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La tesi è divisa in due parti.
Nella prima si dimostra il teorema di rigidità di Friesecke, James e Muller seguendo l'articolo originale del 2002. Il teorema afferma che data una mappa da un aperto U di R^n in R^n, se il suo gradiente è in media vicino al gruppo delle rotazioni allora a meno di una costante è vicino ad una fissata rotazione.
Nella seconda si dimostra un risultato di cristallizzazione seguendo un lavoro di F. Theil del 2006, dove delle particelle interagiscono tramite un potenziale a coppie, e si dimostra che gli stati di minima energia sono cristallizzati, ovvero le particelle si dispongono secondo un reticolo triangolare regolare. Il teorema di rigidità della prima parte qui gioca un ruolo fondamentale per trattare potenziali a lungo raggio, cioè non a supporto compatto, in cui anche particelle lontane interagiscono fra di loro.