ETD

• Coxeter groups
• hermitian symmetric pairs
• Kazhdan-Lusztig polynomials

Nel 1979, Kazhdan e Lusztig introdussero i loro celebri polinomi, definiti come coefficienti del passaggio dalla base standard dell’algebra di Hecke alla cosiddetta base di Kazhdan–Lusztig. Questi polinomi hanno profonde connessioni con la teoria delle rappresentazioni dei gruppi di Weyl, le singolarità delle varietà di Schubert e la combinatoria algebrica, e risultano pertanto molto interessanti.
Nel contesto più generale, questi polinomi sono indicizzati da coppie di elementi di un gruppo di Coxeter $W$. In molti contesti applicativi, tuttavia, è naturale considerare sottogruppi parabolici $W_J$, portando all’introduzione dei polinomi parabolici di Kazhdan-Lusztig, definiti da Deodhar negli anni Ottanta. Tali polinomi sono associati a moduli indotti dell’algebra di Hecke (sferici o anti-sferici) e si ottengono proiettando opportunamente la base KL classica sullo spazio dei coset $W/W_J$.
In generale il calcolo dei coefficienti di questa classe di polinomi è altamente non banale. Lo scopo di questa tesi è quello di trattare il caso in cui $(W, W_J)$ è una coppia simmetrica hermitiana. Difatti, per tali quozienti $W/W_J$ il calcolo dei polinomi parabolici di Kazhdan-Lusztig si riduce allo studio di oggetti combinatorici come cammini, link e partizioni di Dyck. In particolare, tramite questo studio combinatorio, nella tesi mostriamo che tali polinomi parabolici (nel caso antisferico) sono nulli o potenze moniche di $q$.