ETD

• bcfw recursion
• factorization
• five dimensions
• four-point amplitudes
• gauge theories
• little group
• on-shell methods
• scattering amplitudes
• spinor-helicity
• three-point amplitudes

La presente tesi analizza in modo sistematico la costruzione di ampiezze di scattering in cinque dimensioni tramite metodi completamente on-shell, estendendo al caso 5D le tecniche sviluppate negli ultimi due decenni per la fisica delle particelle in quattro dimensioni. L’approccio si fonda esclusivamente sulle proprietà dell’S-matrix — Lorentz invariance, little group covariance, analiticità, unitarietà e fattorizzazione — evitando ogni riferimento a un Lagrangiano locale o a campi con ridondanze di gauge. L’obiettivo è classificare le interazioni compatibili con tali principi, identificare le strutture ammissibili per ampiezze a tre e quattro punti e chiarire in quale misura il formalismo spinor-helicity in cinque dimensioni consenta di ricostruire le dinamiche fisiche delle teorie di gauge e di materia.
La tesi inizia con una revisione compatta dei fondamenti degli on-shell methods in quattro dimensioni, dove il formalismo spinor-helicity è particolarmente efficiente grazie alla fattorizzazione naturale del quadrimpulso di particelle massless in prodotto di spinori di Weyl. Questa sezione funge da base concettuale indispensabile: vengono presentati il ruolo del little group, la costruzione delle ampiezze a tre punti fissate interamente da Poincaré invariance, e la classificazione delle interazioni rilevanti, marginali o irrilevanti. Viene inoltre discusso il legame tra analiticità e fattorizzazione e il funzionamento delle ricorsioni BCFW, che permettono di ricostruire ampiezze a molti punti a partire dai soli blocchi a tre punti.
La parte centrale del lavoro affronta la generalizzazione a cinque dimensioni. In 5D il gruppo di Lorentz SO(1,4) ha come little group SU(2), e di conseguenza gli stati massless non sono classificati da un numero intero o semi-intero (come l’elicità in 4D), ma da rappresentazioni di SU(2), descritte tramite tensori simmetrici di indici little-group. Seguendo la formulazione di Cheung, O’Connell e collaboratori, il momento di una particella massless in 5D si fattorizza in un bilineare di spinori con indici Lorentziani e SU(2), e si introducono i due spinori indipendenti u e w che parametrizzano completamente le soluzioni della cinematica a tre punti. Questi oggetti costituiscono la base per costruire ampiezze covarianti sotto il little group e per definire polarizzazioni di particelle di spin arbitrario.
Una parte significativa della tesi è dedicata alla ricostruzione delle ampiezze a tre punti in cinque dimensioni. Poiché nelle teorie massless non esistono invarianti cinematici non banali per tre momenti nulli, la struttura delle ampiezze è completamente fissata da simmetrie e dimensione del coupling. Vengono trattati in dettaglio tre casi fisicamente rilevanti:
(1) interazioni scalare-scalare-vettore, ossia la versione 5D della QED scalare;
(2) il vertice di Yang–Mills a tre gluoni, la cui esistenza è garantita dalla simmetria non abeliana;
(3) il caso generale di particelle di spin arbitrario.
Per ciascuna interazione, vengono ricostruite le espressioni esplicite in termini di u e w, verificandone la simmetria sotto scambi delle particelle e, soprattutto, la gauge invariance. Quest’ultimo punto è cruciale: poiché il formalismo spinor-helicity non utilizza campi vettoriali o tensori, la gauge invariance deve emergere dai soli spinori on-shell. La tesi mostra come tale proprietà sia automaticamente rispettata grazie alla struttura antisimmmetrica dei prodotti di u e w e alla relazione di completezza che lega polarizzazioni e momenti.
Successivamente, l’analisi si sposta sulle ampiezze a quattro punti, che rappresentano il banco di prova delle interazioni individuate ai tre punti. A questo livello compaiono invarianti cinematici non banali (s, t, u), e la consistenza fisica impone che l’ampiezza fattorizzi correttamente quando, ad esempio, s → 0, ricostruendo il prodotto di due ampiezze a tre punti con uno stato intermedio on-shell. La tesi discute la costruzione di ampiezze a quattro punti tramite recursioni BCFW adattate alla struttura 5D, mostrando come il comportamento a grande z delle deformazioni complesse sia più delicato che in 4D a causa dell’assenza di una nozione di elicitá. Nonostante ciò, è possibile applicare ricorsioni specializzate che permettono di calcolare ampiezze fisiche e confrontarle con quelle ottenute tramite gluing manifestamente locale dei diagrammi a tre punti.
Un risultato importante è la verifica che interazioni fondamentali come la QED scalare e la Yang–Mills 5D passano il cosiddetto four-particle test: le ampiezze a quattro punti costruite attraverso i tre-punti fattorizzano correttamente in tutti i canali e non generano comportamenti non locali. Viceversa, interazioni non fisiche oppure prive di gauge invariance vengono automaticamente escluse perché non rispettano la fattorizzazione o generano dipendenze spurie. Questo conferma che l’approccio on-shell, anche in cinque dimensioni, è sufficiente a isolare le teorie coerenti senza far riferimento a un Lagrangiano.
Una sezione specifica è infine dedicata all’implementazione esplicita del BCFW in cinque dimensioni, illustrando attraverso esempi dettagliati come costruire diagrammi ricorsivi e come verificare il comportamento corretto nei limiti cinematici rilevanti. È mostrato come, per particelle di spin uno, i due diagrammi BCFW riproducano esattamente il risultato ottenuto tramite il gluing locale dei tre-punti, confermando la coerenza interna del metodo.
La tesi si conclude sottolineando che i metodi on-shell in cinque dimensioni riescono a classificare e ricostruire molte delle interazioni fisicamente rilevanti in modo sorprendentemente semplice, nonostante l’apparente complessità della struttura spinoriale. Il formalismo u-w permette infatti di esprimere le ampiezze in una forma minimale, che rende evidente la relazione tra simmetrie e dinamica. Una possibile prosecuzione naturale del lavoro riguarda l’estensione delle tecniche a teorie supersimmetriche in 5D, oppure l’analisi delle ampiezze massive originanti da compatificazioni di teorie 6D, temi centrali nella moderna ricerca sulle strutture profonde dell’S-matrix.

This thesis presents a systematic analysis of scattering amplitudes in five spacetime dimensions using fully on-shell methods, extending to 5D the techniques that have become central to modern amplitude physics in four dimensions. The approach relies exclusively on the properties of the S-matrix—Lorentz invariance, little-group covariance, analyticity, unitarity, and factorization—without referring to any underlying Lagrangian or gauge-redundant fields. The objective is to classify the interactions compatible with these principles, identify the allowed three- and four-point structures, and clarify to what extent the five-dimensional spinor-helicity formalism is sufficient to reconstruct the dynamical content of gauge and matter theories.
The thesis begins with a concise review of on-shell methods in four dimensions, where the spinor-helicity formalism is particularly powerful thanks to the factorization of massless momenta into products of Weyl spinors. This introductory chapter provides the conceptual foundation: it introduces the role of the little group, the structure of three-point amplitudes fixed entirely by Poincaré invariance, and the classification of relevant, marginal, and irrelevant interactions. It also discusses the relationship between analyticity and factorization, and reviews BCFW recursion, which reconstructs higher-point amplitudes from their three-point building blocks.
The central part of the thesis addresses the extension to five dimensions. In 5D, the Lorentz group SO(1,4) has SU(2) as the little group for massless particles, so physical states are not labeled by helicity but by SU(2) representations, encoded as totally symmetric little-group tensors. Following the formulation developed by Cheung, O’Connell and collaborators, the momentum of a massless particle factorizes into a bilinear of spinors carrying both Lorentz and little-group indices. This introduces two independent spinors, u and w, which fully describe three-point kinematics. These spinors play a role analogous to the holomorphic and anti-holomorphic spinors in 4D, providing the basic ingredients for constructing little-group-covariant amplitudes and polarization tensors for particles of arbitrary spin.
A substantial portion of the thesis is devoted to reconstructing all possible three-point amplitudes in five dimensions. Since massless three-point amplitudes admit no non-trivial Lorentz invariants, their structure is entirely fixed by symmetry and by the dimensionality of the coupling. The thesis examines three physically important cases in detail:
(1) scalar–scalar–vector interactions, corresponding to five-dimensional scalar QED;
(2) the non-abelian three-gluon Yang–Mills vertex;
(3) the general case of arbitrary-spin particles.
For each interaction, explicit expressions are constructed in terms of u and w, and their behavior under particle exchange and gauge transformations is analyzed. A key point is that gauge invariance must be manifest directly in the spinor formalism, without introducing gauge fields or polarization vectors as auxiliary off-shell objects. The thesis demonstrates that gauge invariance emerges naturally from completeness relations and from the antisymmetric structure of bilinears in the spinor variables.
The analysis then moves to four-point amplitudes, which serve as consistency tests for the interactions identified at three points. At four points, non-trivial kinematic invariants (s, t, u) appear, and physical consistency requires that the amplitude factorize correctly when, for instance, s → 0, reproducing the product of two three-point amplitudes with an intermediate on-shell state. The thesis discusses both a direct local construction of four-point amplitudes—gluing together the three-point building blocks—and the extension of BCFW recursion to five dimensions, highlighting the subtleties arising from the absence of helicity. Despite these challenges, specialized BCFW shifts allow non-trivial amplitudes to be computed and compared to the results from manifestly local gluing.
An important finding is that fundamental interactions such as scalar QED and five-dimensional Yang–Mills pass the four-particle test: their four-point amplitudes factorize correctly in all channels and exhibit no non-localities. Conversely, interactions that fail to satisfy gauge invariance or lack the correct little-group structure are automatically excluded, since their four-point amplitudes either fail to factorize or produce unphysical terms. This demonstrates that the on-shell framework remains sufficiently constraining in five dimensions to identify physically meaningful theories without requiring a Lagrangian.
A dedicated section outlines the implementation of BCFW recursion in 5D, providing explicit examples of deformations, intermediate propagators, and factorization channels. For spin-one particles, the two BCFW diagrams generated by a suitable shift reproduce precisely the four-point amplitude obtained from local gluing, confirming the internal consistency of the method and its compatibility with Lorentz symmetry and little-group covariance in five dimensions.
The thesis concludes by emphasizing that five-dimensional on-shell methods successfully classify and reconstruct a wide class of physically relevant interactions in a remarkably economical way, despite the greater algebraic complexity of higher-dimensional spinor structures. The u-w formalism enables compact expressions for amplitudes, making the role of symmetry particularly transparent and showing that many standard results in 5D gauge theory follow directly from S-matrix principles. Natural extensions of this work include applying the same methods to supersymmetric theories in five dimensions, studying the structure of massive amplitudes arising from circle reductions of six-dimensional theories, and exploring potential connections to the non-perturbative dynamics of the (2,0) theory and its Kaluza-Klein modes.