ETD

• Birkhoff weighted averages
• cerchi invarianti rotazionali
• mappa standard
• medie pesate di Birkhoff
• numero di rotazione
• rotation number
• rotational invariant circles
• rotational invariant tori
• standard map
• tori invarianti rotazionali

Il caos è uno dei fenomeni più affascinanti che emergono nello studio dei sistemi dinamici. Un sistema mostra comportamento caotico quando presenta dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali. Il modello prototipo di una mappa caotica è la mappa standard di Chirikov, appartenente alla più ampia classe delle
mappe twist. Essa dipende da un parametro che rappresenta una perturbazione di un sistema integrabile (nel quale la dinamica è completamente regolare). A ogni orbita si può associare un valore, detto numero di rotazione, che fornisce informazioni sul suo comportamento. Il primo obiettivo della tesi è identificare numericamente le orbite caotiche della mappa standard utilizzando un metodo, chiamato metodo delle medie pesate di Birkhoff. Tale metodo consiste essenzialmente nel misurare la velocità di convergenza di una certa media di un osservabile h lungo un’orbita. Si mostra che tale velocità è elevata per orbite regolari, e significativamente più bassa per orbite caotiche. Tale differenza costituisce il criterio che utilizziamo per distinguere la dinamica regolare da quella caotica. Questo metodo consente anche di individuare, nella regione regolare, alcune strutture in cui la dinamica è coniugata a una traslazione rigida: nel caso della mappa standard bidimensionale queste strutture sono chiamate cerchi invarianti rotazionali. Le orbite appartenenti a tali curve sono le uniche orbite regolari che presentano un numero di rotazione irrazionale. Ovviamente, il numero di rotazione calcolato numericamente è sempre razionale, in quanto si lavora in aritmetica floating point. Quindi si utilizza un criterio, basato sulla costruzione dell’albero di Farey, per stabilire se tale valore approssimi un numero realmente razionale o irrazionale, Questo dunque permette di individuare i cerchi invarianti rotazionali nella dinamica regolare. Tutto ciò è trattato nel Capitolo 2.
Nel Capitolo 3 la stessa metodologia viene applicata alla mappa standard tridimensionale. In questo contesto, l’analogo dei numeri di rotazione sono i vettori di rotazione, e le strutture con dinamica rigida sono i tori invarianti rotazionali. Le orbite su tali tori hanno vettori di rotazione irrazionali, cioè che presentano componenti razionalmente indipendenti. Questa proprietà viene sfruttata per identificarli.
All’aumentare del parametro di perturbazione, queste strutture si distruggono progressivamente, sebbene alcune risultino più robuste di altre. Nella prima parte del Capitolo 4 si affronta il problema dell’identificazione dei cerchi invarianti più robusti. E’ ben noto che un cerchio invariante è tanto più resistente quanto più il suo numero di rotazione è “lontano” dai razionali, ovvero quando è mal approssimabile da numeri razionali. In particolare è stato scoperto che i numeri di rotazione nobili - ossia la cui espansione in frazioni continue possiede una coda infinita di 1 - corrispondono ai cerchi invarianti più robusti. La caratterizzazione dei tori invarianti robusti nella mappa standard tridimensionale rimane invece un problema aperto. La difficoltà sta nel fatto che manca una generalizzazione dell’espansione in frazioni continue al caso vettoriale. Nell’ultima parte della tesi vengono proposti alcuni vettori candidati a descrivere tori invarianti robusti, utilizzando il concetto di sequenza triangolare di un vettore in [0,1] x [0,1]. Tali ipotesi vengono successivamente testate
mediante esperimenti numerici.

One of the most fascinating phenomena that arise in the study of dynamical systems is chaos. A system exibits chaotic behavior when it shows a sensitive dependence on initial conditions. The prototype of a map with chaotic orbits is the Chirikov standard map, and it belongs to the more general class of twist
maps. This map depends on a parameter that represents a perturbation of an integrable system (in which the dynamics is completely regular). We can associate to each orbit a quantity, called rotation number, which provides information about its behavior. The first objective of this thesis is to numerically
identify chaotic orbits of the standard map using a method known as the Birkhoff weighted averages method. This method essentially relies on measuring the rate of convergence of certain averages of an observable h along an orbit. We show that this convergence rate is very high when the orbit is regular, whereas it is significantly lower for chaotic orbits. This difference serves as our discriminant for distinguishing regular from chaotic dynamics. The Birkhoff method also allows one to identify, within the regular region, some structures where the dynamics is topologically conjugate to a rigid translation. For a 2−dimensional standard map these structures are called rotational invariant circles. In particular, the orbits lying on a rotational invariant circle are the only regular orbits with an irrational rotation number. Through this method, we obtain an approximation of the rotation number associated with a regular orbit. Naturally, this approximation is a rational value, since the computations are performed using floating-point arithmetic. Therefore we use a criterion,based on the construction of the Farey tree, that allows us to determine whether the computed value approximates a truly rational number or an irrational one. This, in turn, enables the detection of rotational invariant circles within the regular region of the dynamics. This topic is addressed in Chapter 2.
In Chapter 3, we apply the same method to distinguish chaotic orbits in a 3−dimensional standard map. Here, the analogues of rotation numbers are rotation vectors, and the corresponding structures with rigid dynamics are rotational invariant tori. We show that orbits lying on these tori have irrational rotation vectors, meaning that their components are rationally independent. We exploit this property to identify tori within the regular dynamics. As the perturbation parameter increases, these structures gradually disappear. However, some of them are more resistant to perturbation than others. In the first part of Chapter 4 we address the problem of identifying the most robust invariant circles. It is well known that an invariant circle is more robust when its rotation number is ”far” from rational values, that is, when it is badly approximated by rational numbers. In particular it has been discovered that rotation numbers that are noble- that is, whose expansion on continued fractions has an infinite tail of ones- correspond to the most robust invariant circles. Nevertheless, the problem of characterizing rotational invariant tori that are locally robust in the 3−dimensional standard map remains unsolved. The difficulty arises from the lack of a natural generalization of the expansion on continued fractions to the case of vectors. In the final part of the chapter, we propose some candidate vectors that may correspond to robust rotational invariant tori, relying on the concept of the triangle sequence of a vector in [0, 1] × [0,1]. We then test these hypotheses through numerical experiments.