• calcolo di Malliavin
• metodo di Montr Carlo
• Opzioni Americane

In seguito al celebre lavoro di Black e Scholes sulla valutazione e la copertura delle opzioni, negli ultimi anni, c'è stato un sempre crescente interesse nello studio di modelli finanziari attraverso concetti matematici, quali martingale ed integrazione stocastica.
Le opzioni sono contratti derivati che danno al compratore (holder), dietro il pagamento di un premio, il diritto, e non l'obbligo, di comprare o vendere una certa quantità di beni finanziari, ad una certa data e ad un prezzo di esercizio prestabilito. Il venditore (writer) deve attenersi alla decisione dell'holder.
Il problema è quello di valutare un'opzione ad ogni istante, e di conseguenza trovare il premio, che renda equa l'operazione. Ci occuperemo della valutazione e della copertura di opzioni Americane, che possono essere esercitate in qualsiasi momento prima della scadenza. Questo problema è più complesso di quello relativo alle opzioni Europee, ed è legato alla teoria dei problemi d'arresto ottimale.
Il prezzo di un'opzione è fornito dalla soluzione di un'equazione differenziale alle derivate parziali, e per la sua determinazione generalmante si usano metodi numerici analitici. Un'alternativa è però fornita dall'utilizzo di metodi MonteCarlo, che sono preferibili nel caso di dimensioni alte.
Grazie agli strumenti del calcolo di Malliavin otterremo formule di rappresentazione per la speranza condizionale, che utilizzeremo per descrivere il metodo MonteCarlo. Attraverso il calcolo di Malliavin, troveremo altre formule per la rappresentazione delle greche dell'opzione, ed in particolare del Delta.
Ci concentreremo sul modello di Black e Scholes, ma nel caso di processi di diffusione più generali valgono le stesse argomentazioni. Conseguentemente le stesse formule valide nel modello di Black e Scholes diventano più complicate. Attraverso un semplice ragionamento geometrico, si estendono tali risultati al caso multidimensionale.
Il lavoro è organizzato come segue. I primi due capitoli sono dedicati allo studio di modelli a tempi discreti, e descrivendo la teoria delle opzioni Americane si introducono i concetti che saranno sviluppati nel caso continuo. Il capitolo 3 è un'introduzione ai risultati principali del calcolo stocastico, quali integrale stocastico ed equazioni differenziali stocastiche. Nel capitolo 4 è descritto il modello di Black e Scholes, e si fornisce la formula del prezzo di un'opzione Americana. Il capitolo 5 è dedicato al calcolo di Malliavin e si enunciano i risultati principali che verranno applicati nel capitolo successivo. In quest'ultimo, dopo una breve descrizione del concetto di copertura tramite opzioni, si passa al calcolo delle formule di rappresentazione della speranza condizionale e della sua derivata, prima nel caso unidimensionale e poi in quello multidimensionale. Infine vengono stabiliti risultati numerici.