• calcolo di Malliavin
• metodo di Montr Carlo
• Opzioni Americane

In seguito al celebre lavoro di Black e Scholes sulla valutazione e la copertura
delle opzioni, negli ultimi anni, c'è stato un sempre crescente interesse nello
studio di modelli nanziari attraverso concetti matematici, quali martingale
ed integrazione stocastica.
Le opzioni sono contratti derivati che danno al compratore (holder), dietro il pagamento di un premio, il diritto, e non l'obbligo, di comprare o
vendere una certa quantità di beni finanziari, ad una certa data e ad un
prezzo di esercizio prestabilito. Il venditore (writer) deve attenersi alla decisione dell'holder.
Il problema è quello di valutare un'opzione ad ogni istante, e di conseguenza trovare il premio, che renda equa l'operazione. Ci occuperemo della
valutazione e della copertura di opzioni Americane, che possono essere esercitate in qualsiasi momento prima della scadenza. Questo problema è più
complesso di quello relativo alle opzioni Europee, ed è legato alla teoria dei
problemi d'arresto ottimale.
Il prezzo di un'opzione è fornito dalla soluzione di un'equazione differenziale alle derivate parziali, e per la sua determinazione generalmante si usano metodi numerici analitici. Un'alternativa è però fornita dall'utilizzo di
metodi MonteCarlo, che sono preferibili nel caso di dimensioni alte.
Grazie agli strumenti del calcolo di Malliavin otterremo formule di rappresentazione per la speranza condizionale, che utilizzeremo per descrivere
il metodo MonteCarlo. Attraverso il calcolo di Malliavin, troveremo altre
formule per la rappresentazione delle greche dell'opzione, ed in particolare
del Delta.
Ci concentreremo sul modello di Black e Scholes, ma nel caso di processi
di diffusione più generali valgono le stesse argomentazioni. Conseguentemente le stesse formule valide nel modello di Black e Scholes diventano più
complicate. Attraverso un semplice ragionamento geometrico, si estendono
tali risultati al caso multidimensionale.
Il lavoro è organizzato come segue. I primi due capitoli sono dedicati
allo studio di modelli a tempi discreti, e descrivendo la teoria delle opzioni
Americane si introducono i concetti che saranno sviluppati nel caso continuo.
Il capitolo 3 è un'introduzione ai risultati principali del calcolo stocastico,
quali integrale stocastico ed equazioni differenziali stocastiche. Nel capitolo 4 è descritto il modello di Black e Scholes, e si fornisce la formula del prezzo
di un'opzione Americana. Il capitolo 5 è dedicato al calcolo di Malliavin e
si enunciano i risultati principali che verranno applicati nel capitolo successivo. In quest'ultimo, dopo una breve descrizione del concetto di copertura
tramite opzioni, si passa al calcolo delle formule di rappresentazione della
speranza condizionale e della sua derivata, prima nel caso unidimensionale e
poi in quello multidimensionale. Infine vengono stabiliti risultati numerici.
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