• formula di Frobenius
• formula di Goulden Jackson
• gruppo simmetrico
• mappe topologiche
• rappresentazioni

In questa tesi si studiano le mappe topologiche, definite come grafi immersi in superfici orientabili di genere arbitrario. Utilizzando la combinatoria delle permutazioni del gruppo simmetrico, si esplorano sia le proprietà topologiche che algebriche di questi oggetti. L’obiettivo principale è fornire risultati enumerativi, con particolare attenzione alle mappe con una faccia e agli alberi planari. Viene dimostrata la formula di Frobenius, sviluppandone una versione pesata, e sono dedotte alcune serie generatrici utili per il conteggio delle mappe. Si offrono altri casi particolari, generalizzazioni e infine spunti per future ricerche.

This thesis examines topological maps, defined as graphs embedded in orientable surfaces of arbitrary genus. By utilizing the combinatorics of permutations from the symmetric group, both the topological and algebraic properties of these objects are explored. The main objective is to provide enumerative results, with particular focus on one-faced maps and planar trees. The Frobenius formula is proven, and a weighted version is developed, along with the derivation of some generating series useful for counting maps. Additional specific cases, generalizations, and finally suggestions for future research are offered.