ETD

• analisi spazi metrici
• funzioni BV

Negli ultimi due decenni, sotto l’impulso dei progressi nel calcolo delle variazioni, nella teoria geometrica della misura e nella geometria frattale, si sono avuti importanti sviluppi nello studio di equazioni alle derivate parziali e problemi al contorno in aperti di Rn del tutto irregolari ed anche, ancor piu'generalmente, in spazi metrici. Parallelamente si ` avuto un enorme sviluppo nella comprensione della teoria e degli spazi di Sobolev nella cornice generale degli spazi metrici [4, 6] e molti progressi sono stati fatti sulla definizione di funzioni BV e insiemi di perimetro finito nel contesto degli spazi metrici misurati [2].
Il mio lavoro di tesi presenta la nozione di funzione BV , analizzando in principio il caso Euclideo per poi passare al caso piu' generale di funzioni BV in uno spazio metrico. Inizialmente vengono esaminate le due definizioni di funzioni BV su R: la definizione classica dovuta a Jordan nel 1881, e la definizione moderna basata sul concetto di derivata distribuzionale introdotto da Scwhartz, e se ne prova l’effettiva equivalenza [3]. Si dimostrano il teorema di derivazione di Lebesgue su [a, b], la bigezione tra le funzioni BV e le misure di Radon finite con segno [9], e un teorema di decomposizione (valido solo in una dimensione) per cui una funzione BV e' somma di una funzione assolutamente continua, una funzione “salto” e una funzione “cantoriana” [3]. Nel caso di funzioni con dominio Ω un aperto di R^n , considerando la definizione distribuzionale, dopo
aver provato le principali propriet` della variazione totale, si prova che una funzione BV e' limite in L^1 di funzioni in W^{1,1} (caratterizzazione dovuta a De Giorgi); provato che BV (Ω) e' uno spazio di Banach vengono introdotti due diversi tipi di convergenza: la convergenza forte e la convergenza debole*.
Prima dare la definizione di funzione BV in spazi metrici vengono presentati alcuni concetti base:viene introdotto il concetto di curva rettificabile a valori in uno spazio metrico e viene provata l’esistenza di geodetiche nel caso di uno spazio proprio [5]. Viene introdotto il concetto di misura doubling, di operatore massimale di Hardy-Littlewood e viene dimostrato il teorema di Hardy-Littlewood che, nel caso 1 < p < ∞, mostra che l’operatore massimale e' limitato in L^p , mentre si ottiene una stima debole (1-1) nel caso p = 1 [1]. Viene definito il gradiente superiore debole e a questo scopo viene introdotta una misura esterna sull’insieme delle curve rettificabili. Introdotti poi, gli spazi di Sobolev metrici secondo la definizione di Hajlasz e la disuguaglianza debole (1, p)-Poincare', si mostra la loro l’equivalenza nel caso 1 < p < ∞ [5]. Infine vengono definite le funzioni BV in uno spazio metrico [8]. Fissato (X, d, μ) uno spazio metrico misurato, con μ una misura doubling, per ogni u ∈ L^1_{loc}(X) si definisce la variazione totale di u, ||Du||(X) come estremo inferiore al variare di tutte le successioni (u_n) in Lip_{loc} convergenti ad u in L^1_{loc} del liminf dell'integrale di lip u_n.
Si dice allora che una funzione u ∈ L^1(X) e' una funzione a variazione limitata, u ∈ BV (X), se ||Du||(X) < ∞. Dopo aver provato che ||Du|| e' la restrizione di una misura di Radon finita sugli aperti di X, si mostra una caratterizzazione puntuale [7].

Riferimenti bibliografici
[1] L. Ambrosio, P. Tilli (2004), Topics in Analysis in Metric Spaces, Oxford Lecture Series
in Mathematics and Its Applications, Oxford University Press, USA.
[2] L. Ambrosio (2002), Fine properties of sets of finite perimeter in doubling metric measure
spaces, Set Valued Anal. 10(2–3), 111–128.
[3] L. Ambrosio, N. Fusco, D. Pallara (2000), Functions of bounded variation and free
discontinuity problems Oxford Mathematical Monographs, The Clarendon Press, Oxford
University Press, New York.
[4] P. Hajlasz (1996), Sobolev Spaces on an Arbitrary Metric Space, Potential Analysis 5,
pp. 403-415, Kluwer Academic Publishers, Netherlands.
[5] P. Hajlasz (2003), Sobolev spaces on metric-measure spaces. (Heat kernels and analysis
on manifolds, graphs, and metric spaces), 173-218, Contemp. Math. , 338, Amer. Math.
Soc., Providence, RI.
[6] P. Hajlasz, P. Koskela (2000), Sobolev met Poincare'. ́Mem. Am. Math. Soc. 145(688).
[7] P. Lahti, H. Tuominem (2013), A Pointwise Characterization of Functions of Bounded
Variation on Metric Spaces, Ricerche di Matematica Universita' degli Studi di Napoli
Federico II.
[8] M. Jr. Miranda (2003), Functions of bounded variation on ”good” metric spaces, J. Math.
Pures Appl. (9) 82 (2003), no. 8, 975–1004.
[9] H.L. Royden (1969), Real analysis, Macmillan.