• Anyoni
• gas Unidimensionali
• Tonks Girardeau

La fisica dei sistemi unidimensionali, ha sempre suscitato interesse nel
mondo scientico, non solo come punto di partenza per lo studio di sistemi
in dimensioni più alte, ma anche per la peculiarità dei fenomeni che sono
presenti solo in questo ambito. Già dagli anni '60, infatti, grazie ai lavori di
Girardeau e Tonks, ci si è accorti di una corrispondenza uno a uno tra un gas
di bosoni impenetrabili unidimensionale ed un gas di fermioni liberi (senza
spin), che si riflette in una corrispondenza tra le rispettive funzioni d'onda,
conducendo al risultato che le proprietà dipendenti solo dal modulo quadro della funzione d'onda sono le stesse
nei due sistemi. Sempre in questa direzione sono gli studi di Lieb e Liniger,
che però si specializzano su un sistema di bosoni unidimensionale interagenti
attraverso un potenziale a delta di Dirac, con condizioni periodiche ai bordi. La
loro analisi contiene come caso limite il modello di Tonks-Girardeau nel caso
in cui il coefficiente dell'interazione tenda ad infinito. Successivamente ci si è
accorti della possibilità di studiare sistemi unidimensionali che obbediscono
ad una statistica intermedia tra quella dei bosoni e quella dei fermioni.
Tali particelle prendono il nome di Anyoni, perché nel caso di scambio di
due particelle nella funzione d'onda, se per i fermioni (bosoni) si ottiene
un fattore -1 (+1), per gli anyoni abbiamo un fattore di fase che dipende dal parametro anyonico, che può assumere ogni valore (in inglese any) tra 0 e
1. E' importante notare che nel caso di anyoni impenetrabili, si ha ancora
una volta una corrispondenza uno a uno con un gas di fermioni liberi, e
ciò permette di riutilizzare i risultati già noti per osservare come vengono
modificati dalla presenza del parametro anyonico.
L'interesse per i sistemi unidimensionali è aumentato notevolmente negli
ultimi anni visto il miglioramento delle tecniche per ottenere gas atomici
ultra-freddi connati da un potenziale armonico e costretti ad essere "unidimensionali". Ciò consente di verificare predizioni teoriche ed
effettuarne di
nuove, e di comprendere meglio gli eetti delle correlazioni quantistiche per
sistemi fortemente interagenti.
Come nel caso studiato da Lieb e Liniger, la maggioranza delle previsioni
teoriche sono basate su sistemi con condizioni al bordo periodiche, mentre
sperimentalmente, i gas quantistici sono connati tramite potenziali ottici
o magnetici. La sica risultante e' diversa nel caso di numero nito di particelle ed è in questa ottica che si inserisce il mio lavoro. Infatti, partendo dall'analisi di un gas di bosoni impenetrabili 1D e limitandomi ai casi di
confinamento in trappola armonica ed in una buca infinita (con condizioni al bordo di Dirichlet), ho calcolato la matrice densità ridotta, quantità
misurata negli esperimenti, ed ho analizzato il comportamento dei suoi autovalori, ritrovando un andamento inversamente proporzionale alla quarta potenza di j per j >> N e, per il primo
autovalore, un andamento con la radice di N, indice dell'assenza di condensazione di
Bose-Einstein. Sempre tramite la matrice densità è stato possibile calcolare l'entropia
di Entanglement, al variare del numero di particelle.
Da 3 a 100 per la buca infinita, e no a 40 per il potenziale armonico.
Sono passato poi allo studio di un gas di Anyoni impenetrabili in una
buca infinita, in modo da ottenere l'entropia di Entanglement come funzione
del parametro anyonico. Ho dato in fine una descrizione delle funzioni di correlazione nel regime di piccoli momenti e grandi distanze
(x-y) >> L/N .
Lo studio di queste particelle non rimane una pura speculazione, esistono
infatti proposte per la produzione di anyoni in sistemi atomici ultra-freddi,
da utilizzare nella realizzazione di computer quantistici.