• Anyoni
• gas Unidimensionali
• Tonks Girardeau

La fisica dei sistemi unidimensionali, ha sempre suscitato interesse nel mondo scientifico, non solo come punto di partenza per lo studio di sistemi in dimensioni più alte, ma anche per la peculiarità dei fenomeni che sono presenti solo in questo ambito. Già dagli anni '60, infatti, grazie ai lavori di Girardeau e Tonks, ci si è accorti di una corrispondenza uno a uno tra un gas di bosoni impenetrabili unidimensionale ed un gas di fermioni liberi (senza spin), che si riflette in una corrispondenza tra le rispettive funzioni d'onda, conducendo al risultato che le proprietà dipendenti solo dal modulo quadro della funzione d'onda sono le stesse nei due sistemi. Sempre in questa direzione sono gli studi di Lieb e Liniger, che però si specializzano su un sistema di bosoni unidimensionale interagenti attraverso un potenziale a delta di Dirac, con condizioni periodiche ai bordi. La loro analisi contiene come caso limite il modello di Tonks-Girardeau nel caso in cui il coefficiente dell'interazione tenda ad infinito. Successivamente ci si è accorti della possibilità di studiare sistemi unidimensionali che obbediscono ad una statistica intermedia tra quella dei bosoni e quella dei fermioni.
Tali particelle prendono il nome di Anyoni, perché nel caso di scambio di due particelle nella funzione d'onda, se per i fermioni (bosoni) si ottiene un fattore -1 (+1), per gli anyoni abbiamo un fattore di fase che dipende dal parametro anyonico, che può assumere ogni valore (in inglese any) tra 0 e 1. E' importante notare che nel caso di anyoni impenetrabili, si ha ancora una volta una corrispondenza uno a uno con un gas di fermioni liberi, e ciò permette di riutilizzare i risultati già noti per osservare come vengono modificati dalla presenza del parametro anyonico.
L'interesse per i sistemi unidimensionali è aumentato notevolmente negli ultimi anni visto il miglioramento delle tecniche per ottenere gas atomici ultra-freddi confinati da un potenziale armonico e costretti ad essere "unidimensionali". Ciò consente di verificare predizioni teoriche ed effettuarne di nuove, e di comprendere meglio gli eetti delle correlazioni quantistiche per sistemi fortemente interagenti.
Come nel caso studiato da Lieb e Liniger, la maggioranza delle previsioni teoriche sono basate su sistemi con condizioni al bordo periodiche, mentre sperimentalmente, i gas quantistici sono confinati tramite potenziali ottici o magnetici. La fisica risultante e' diversa nel caso di numero finito di particelle ed è in questa ottica che si inserisce il mio lavoro. Infatti, partendo dall'analisi di un gas di bosoni impenetrabili 1D e limitandomi ai casi di confinamento in trappola armonica ed in una buca infinita (con condizioni al bordo di Dirichlet), ho calcolato la matrice densità ridotta, quantità misurata negli esperimenti, ed ho analizzato il comportamento dei suoi autovalori, ritrovando un andamento inversamente proporzionale alla quarta potenza di j per j >> N e, per il primo autovalore, un andamento con la radice di N, indice dell'assenza di condensazione di Bose-Einstein. Sempre tramite la matrice densità è stato possibile calcolare l'entropia di Entanglement, al variare del numero di particelle.
Da 3 a 100 per la buca infinita, e fino a 40 per il potenziale armonico.
Sono passato poi allo studio di un gas di Anyoni impenetrabili in una buca infinita, in modo da ottenere l'entropia di Entanglement come funzione del parametro anyonico. Ho dato infine una descrizione delle funzioni di correlazione nel regime di piccoli momenti e grandi distanze (x-y) >> L/N .
Lo studio di queste particelle non rimane una pura speculazione, esistono infatti proposte per la produzione di anyoni in sistemi atomici ultra-freddi, da utilizzare nella realizzazione di computer quantistici.