ETD

• algebraic topology
• combinatorial topology
• order theory

This thesis explores the deep connection between algebraic topology and order theory, with a specific focus on the field of poset topology. Tracing the historical roots of combinatorial topology, the text first establishes the foundational concepts of abstract and geometric simplicial complexes, followed by the introduction of simplicial homology modules. These modules serve as key homotopy invariants, conceptually capturing the multidimensional holes of a space. The core of the work revolves around the interplay between partially ordered sets (posets) and simplicial complexes through the constructions of order complexes and face posets. This translation provides the groundwork for the theory of shellability, a combinatorial property that formalizes the idea of assembling a simplicial complex step-by-step by regularly gluing its facets together. Building upon the work of Björner and Wachs, the text aims to provide a unified presentation framework that culminates with the proof that shellable complexes share the homotopy type of a wedge of spheres and by demonstrating how edge-lexicographic (EL) labelings of posets offer a powerful computational method to prove the shellability of order complexes.

Questa tesi esplora la profonda connessione tra la topologia algebrica e la teoria dell'ordine, concentrandosi in particolare sulla topologia dei poset. Tracciando le radici storiche della topologia combinatoria, questo lavoro innanzitutto introduce la teoria dei complessi simpliciali, sia nella loro versione astratta che nella loro versione geometrica, e poi ne definisce i moduli di omologia. Questi moduli si rivelano essere degli invarianti omotopici che catturano intuitivamente i buchi multidimensionali dello spazio in esame. L'intero studio ruota attorno all'interazione tra i poset e i complessi simpliciali attraverso la costruzione dei complessi d'ordine (order complexes) e dei poset facciali (face posets). Questa corrispondenza fornisce le basi per l'introduzione della teoria della shellabilità ("sgusciabilità"), una proprietà combinatoria che formalizza l'idea di assemblare un complesso simpliciale incollando a ogni passo le facce massimali in modo sufficientemente regolare. Basandosi sul lavoro svolto da Björner e Wachs, questa tesi mira a fornire una presentazione unificata di questa teoria che culmina con la dimostrazione che i complessi shellabili hanno lo stesso tipo di omotopia di un bouquet di sfere e con l'introduzione degli edge-lexicographic labelings per i poset, che offrono un metodo computazionale efficace per dimostrare la shellabilità di complessi d'ordine.