ETD

• genus
• local limit
• maps
• Markovianity
• PSHT
• triangulations
• UIPT

La tesi affronta alcuni sviluppi recenti nello studio di mappe aleatorie in genere alto. Le mappe sono oggetti combinatorici che possono essere visti sia come grafi immersi in una superficie orientabile, sia come un insieme di poligoni i cui lati sono incollati a due a due in modo da formare una superficie orientabile. Su famiglie di mappe è definita la cosiddetta distanza locale. Un ambito di studio attivo da vari anni è l'analisi della convergenza in questa distanza di specifiche successioni di mappe aleatorie finite. Gli oggetti stocastici che si ottengono con questo procedimento hanno ancora una struttura discreta di mappe, ma sono in generale infiniti. Da questo punto di vista il primo esempio è la Uniform Infinite Planar Triangulation che è il limite locale di triangolazioni planari uniformi con n vertici per n che tende ad infinito. Più recentemente è stato dimostrato che triangolazioni aleatorie di superfici di genere che tende ad infinito proporzionalmente alla loro taglia hanno dei limiti locali detti Planar Stochastic Hyperbolic Triangulations (PSHTs). La tesi presenta alcuni risultati che legano delle proprietà di markovianità spaziale alle PSHTs. Questi metodi permettono di dimostrare la convergenza locale di famiglie di mappe in modo più robusto e meno dipendente dai dettagli del modello.