ETD

• calibration
• G2++ model
• Hull and White
• interest rate derivative pricing
• optimization

This thesis investigates interest rate modelling through the G2++ model, with particular attention to derivative pricing, parameter calibration, and the use of numerical optimization techniques. The analysis considers both nominal interest rates and the extension to real rates and inflation-linked instruments. The main objective is to develop a consistent framework that starts from the interest rate term structure observed in the market, allows the valuation of different derivative instruments, supports the calibration of model parameters, and can subsequently be implemented within a risk-neutral Economic Scenario Generator.
The G2++ model belongs to the family of Gaussian short-rate models. The short rate is represented as the sum of two stochastic mean-reverting factors and a deterministic component. The two factors follow correlated Ornstein–Uhlenbeck processes and are characterized by parameters governing their mean-reversion speeds, volatilities, and correlation. The use of two factors provides greater flexibility in describing yield curve movements than a one-factor model, since the two components may have different persistence and affect different maturities in different ways.
The deterministic component of the model is chosen so as to ensure exact consistency with the initial market term structure. At the valuation date, the zero-coupon bond prices generated by the model therefore coincide with the discount factors observed in the market. This makes it possible to separate the fitting of the initial yield curve from the calibration of the stochastic dynamics, allowing parameter estimation to focus on the model’s ability to reproduce interest rate volatility and the dependence structure across maturities.
An important part of the thesis concerns the pricing of the instruments used in calibration. For interest rate caps, the normal volatilities observed in the market are converted into prices through the Bachelier model. The G2++ price is instead obtained by exploiting the decomposition of a cap into caplets, each of which can be interpreted as a European option on a zero-coupon bond. This structure allows analytical pricing formulas to be used and makes cap valuation particularly efficient from a computational point of view.
The valuation of European swaptions is more complex because their payoff depends simultaneously on several zero-coupon bonds. For this reason, two different approximation methods are analyzed. The first is the Schrager–Pelsser approach, which is based on the dynamics of the forward swap rate. The second is the Russo–Torri approach, which interprets the swaption as an option on a coupon-bearing bond and links the volatility of its forward price to the stochastic durations associated with the two G2++ factors.
The two methodologies therefore rely on different representations of the same instrument. The Schrager–Pelsser approximation is particularly attractive from a computational perspective because of its speed, while the Russo–Torri approach requires an additional numerical integration but remains computationally efficient. Comparing the two approaches makes it possible to assess how the choice of pricing methodology may affect the final calibration results.
The thesis then extends the framework to the inflation market. The real short rate is represented through a second G2++ model, while the dynamics of the Consumer Price Index provide the link between the nominal and real economies. CPI dynamics depend on the difference between the nominal and real short rates, together with an additional stochastic component specifically associated with inflation risk.
The overall framework therefore includes the two nominal-rate factors, the two real-rate factors, and the CPI-specific innovation. These sources of uncertainty are linked through a common correlation structure, allowing the dependence between nominal rates, real rates, and inflation to be modelled jointly. The framework can consequently be used to value zero-coupon inflation swaps, year-on-year inflation swaps, inflation caps, and inflation floors. Inflation-linked instruments are also used to construct the real term structure and to calibrate the parameters governing inflation dynamics.
The applied core of the thesis is model calibration. The parameters of the G2++ model are not directly observable and must therefore be estimated by comparing model-implied prices with market prices. The calibration problem is nonlinear and may present multiple local minima. As a result, the final solution may depend on both the initial parameter vector and the optimization algorithm employed.
To address this issue, the thesis compares local, global, and evolutionary optimization methods. In particular, fmincon, Differential Evolution, and GlobalSearch are considered. The first performs a constrained local search, while global and evolutionary approaches explore broader regions of the parameter space and reduce the risk of converging to an unsatisfactory local minimum.
The nominal calibration is developed through several alternative strategies. A first procedure uses only interest rate caps. A second uses the parameters obtained from the cap calibration as the starting point for a subsequent swaption calibration. A joint calibration to caps and swaptions is also considered, together with a global calibration performed directly on the swaption surface.
The empirical analysis is based on euro-area market data, including the interest rate swap curve, ATM normal cap volatilities, and an ATM swaption surface defined across different option expiries and underlying swap tenors. For the inflation component, zero-coupon inflation swap rates and inflation cap market premiums across different maturities and strikes are also considered.
The calibration results show that a parameter configuration providing a good fit to caps does not necessarily reproduce swaption prices accurately. Parameters obtained from a cap-only calibration describe the instruments included in the objective function reasonably well, but generate more significant pricing discrepancies when applied to the swaption surface without further recalibration.
This finding highlights the different information content of the two instrument classes. Caps mainly provide information about the term structure of interest rate volatility, while swaptions also reflect the dependence between different points of the yield curve. Consequently, a parameter configuration that performs well for caps may not be sufficiently flexible to describe the entire swaption surface.
The joint calibration also reveals a trade-off between fitting the cap market and fitting the swaption market. Improving the model’s ability to reproduce one class of instruments may result in a deterioration in the fit of the other. By contrast, a global calibration performed directly on the swaption surface provides a more accurate representation of the overall expiry–tenor structure than the use of parameters inferred from caps. This result highlights the importance of a broader exploration of the parameter space.
A further contribution of the thesis is the empirical comparison between the Russo–Torri and Schrager–Pelsser pricing approximations. To ensure a consistent comparison, the market data, calibration instruments, parameter bounds, objective function, and optimization algorithm are kept unchanged. The only difference between the two experiments is the methodology used to calculate G2++ swaption prices.
For the market surface considered in the analysis, the Russo–Torri approach produces an overall improvement in the reproduction of observed swaption prices compared with the Schrager–Pelsser approximation. This result should be interpreted as empirical evidence for the specific dataset under consideration rather than as a general proof that one methodology always dominates the other. Nevertheless, the comparison confirms that the choice of pricing approximation can have a material impact on calibration quality even when the optimization framework remains unchanged.
Finally, the calibrated model is incorporated into an Economic Scenario Generator and subjected to validation tests. A martingale test is used to verify the consistency of simulated discount factors with the risk-neutral framework, while an initial curve-fitting test checks that the model reproduces the market term structure at the starting date. The results indicate good numerical consistency and support the correct implementation of the calibrated model.

La tesi analizza la modellizzazione dei tassi di interesse attraverso il modello G2++, con particolare attenzione al pricing dei derivati, alla calibrazione dei parametri e all’utilizzo di tecniche di ottimizzazione numerica. Il lavoro considera sia i tassi nominali sia l’estensione ai tassi reali e agli strumenti indicizzati all’inflazione. L’obiettivo è costruire un framework coerente che consenta di partire dalla struttura dei tassi osservata sul mercato, valutare diversi strumenti derivati, calibrare i parametri del modello e utilizzare successivamente il modello all’interno di un Economic Scenario Generator in misura risk-neutral.
Il modello G2++ appartiene alla famiglia dei modelli gaussiani a breve termine. Il tasso short viene rappresentato come la somma di due fattori stocastici mean-reverting e di una componente deterministica. I due fattori seguono processi di Ornstein–Uhlenbeck correlati e sono caratterizzati da parametri che ne determinano la velocità di mean reversion, la volatilità e la correlazione. L’utilizzo di due fattori permette di descrivere con maggiore flessibilità i movimenti della curva dei rendimenti rispetto a un modello a singolo fattore, poiché le due componenti possono avere diversa persistenza e influenzare in modo differente le varie scadenze.
La componente deterministica del modello viene invece scelta in modo da garantire la perfetta coerenza con la struttura iniziale dei tassi di mercato. Alla data di valutazione, i prezzi degli zero-coupon bond prodotti dal modello coincidono quindi con i discount factors osservati sul mercato. Questo consente di separare il fitting della curva iniziale dalla calibrazione della dinamica stocastica, concentrando la stima dei parametri sulla capacità del modello di riprodurre la volatilità e la struttura di dipendenza dei tassi.
Una parte importante della tesi riguarda il pricing degli strumenti utilizzati nella calibrazione. Per i cap, le volatilità normali osservate sul mercato vengono trasformate in prezzi attraverso il modello di Bachelier. Il prezzo sotto G2++ viene invece ottenuto sfruttando la decomposizione del cap in caplet, ciascuno dei quali può essere ricondotto a un’opzione europea su uno zero-coupon bond. Questa struttura consente di utilizzare formule analitiche e rende il pricing particolarmente efficiente.
La valutazione delle swaption europee è più complessa, perché il payoff dipende contemporaneamente da diversi zero-coupon bond. Per questo motivo vengono analizzate due metodologie di approssimazione. La prima è quella di Schrager e Pelsser, basata sulla dinamica del forward swap rate. La seconda è l’approccio di Russo e Torri, che interpreta la swaption come un’opzione su un coupon bond e collega la volatilità del suo forward price alle stochastic durations dei due fattori del modello.
Le due metodologie si basano quindi su rappresentazioni differenti dello stesso strumento. Schrager–Pelsser ha il vantaggio di essere particolarmente rapido dal punto di vista computazionale, mentre Russo–Torri richiede un’integrazione numerica aggiuntiva ma rimane comunque efficiente. Il confronto tra i due approcci permette di analizzare quanto la scelta della metodologia di pricing possa influenzare il risultato della calibrazione.
La tesi estende poi il framework al mercato dell’inflazione. Il tasso reale viene rappresentato attraverso un secondo modello G2++, mentre la dinamica del Consumer Price Index collega la componente nominale e quella reale. L’evoluzione del CPI dipende dalla differenza tra tasso nominale e tasso reale e da una specifica componente stocastica associata al rischio di inflazione.
Il sistema complessivo comprende quindi i due fattori nominali, i due fattori reali e l’innovazione del CPI. Queste fonti di rischio vengono collegate attraverso una struttura di correlazione comune, che consente di rappresentare le dipendenze tra tassi nominali, tassi reali e inflazione. Il framework permette così di valutare zero-coupon inflation swaps, year-on-year inflation swaps, inflation caps e inflation floors. Gli strumenti inflation-linked vengono inoltre utilizzati per ricostruire la curva reale e per calibrare i parametri relativi alla dinamica dell’inflazione.
Il nucleo applicativo della tesi è costituito dalla calibrazione. I parametri del modello non sono direttamente osservabili e devono quindi essere stimati confrontando i prezzi teorici con quelli di mercato. Il problema è non lineare e può presentare diversi minimi locali. Di conseguenza, il risultato può dipendere dal punto iniziale scelto e dall’algoritmo utilizzato.
Per affrontare questo problema vengono confrontati metodi di ottimizzazione locale, globale ed evolutiva. In particolare, vengono utilizzati fmincon, Differential Evolution e GlobalSearch. Il primo effettua una ricerca locale vincolata, mentre gli approcci globali ed evolutivi esplorano regioni più ampie dello spazio parametrico e riducono il rischio di convergere verso una soluzione locale poco rappresentativa.
La calibrazione nominale viene sviluppata secondo diverse strategie. Una prima procedura utilizza esclusivamente i cap. Una seconda utilizza i parametri ottenuti dai cap come punto di partenza per una successiva calibrazione alle swaption. Viene inoltre considerata una calibrazione congiunta ai due mercati e, infine, una calibrazione globale effettuata direttamente sulla superficie delle swaption.
L’analisi empirica utilizza dati di mercato dell’area euro relativi alla curva dei tassi swap, alle volatilità normali ATM dei cap e a una superficie di swaption ATM costruita su diverse scadenze e tenor. Per la componente inflazione vengono inoltre considerate le quotazioni degli zero-coupon inflation swaps e i premi degli inflation caps su diverse maturità e strike.
I risultati mostrano che una calibrazione capace di riprodurre bene i cap non garantisce automaticamente una buona capacità di prezzare le swaption. I parametri ottenuti da una calibrazione basata esclusivamente sui cap descrivono adeguatamente gli strumenti inclusi nella funzione obiettivo, ma generano errori più significativi quando vengono applicati alla superficie delle swaption.
Questo evidenzia la diversa informazione contenuta nelle due classi di strumenti. I cap forniscono soprattutto informazioni sulla struttura temporale della volatilità, mentre le swaption incorporano anche la dipendenza tra diversi punti della curva. Di conseguenza, una configurazione parametrica adatta ai cap può non essere sufficiente per descrivere correttamente l’intera superficie delle swaption.
La calibrazione congiunta mostra inoltre l’esistenza di un trade-off tra il fit dei cap e quello delle swaption. Migliorare la capacità del modello di riprodurre un mercato può comportare un peggioramento nell’altro. La calibrazione globale direttamente sulle swaption consente invece di ottenere una rappresentazione più accurata della superficie rispetto all’utilizzo dei parametri derivanti dai cap, evidenziando l’importanza di una più ampia esplorazione dello spazio parametrico.
Un contributo rilevante del lavoro è il confronto tra Russo–Torri e Schrager–Pelsser. Per rendere il confronto omogeneo vengono mantenuti invariati i dati, gli strumenti, i vincoli, la funzione obiettivo e l’algoritmo di ottimizzazione. L’unico elemento che cambia è la metodologia di pricing. L’analisi mostra che, per il mercato considerato, Russo–Torri permette complessivamente di ottenere una migliore riproduzione dei prezzi osservati. Il risultato rappresenta tuttavia un’evidenza empirica specifica e non una dimostrazione generale della superiorità di una metodologia sull’altra.
Infine, il modello calibrato viene integrato in un Economic Scenario Generator e sottoposto a test di validazione. Il martingale test verifica la coerenza dei discount factors simulati con il framework risk-neutral, mentre il test di curve fitting controlla che la curva iniziale del modello coincida con quella di mercato. I risultati mostrano una buona coerenza numerica e confermano la corretta implementazione del modello.