ETD

• calibration
• fractional brownian motion
• option pricing
• rough volatility
• stochastic volatility

This thesis calibrates three stochastic volatility models to the S&P 500 implied volatility surface: the classical Heston model, Rough Heston, and Lifted Heston.
The work addresses a structural limitation of Heston: the model fails to reproduce how the market steepens the implied volatility skew at short maturities. The market shows that this skew becomes more pronounced as time to expiration decreases according to a power law, whereas Heston flattens it. The solution is to introduce roughness through a fractional kernel with Hurst exponent H around 0.1. This approach reconciles two empirical findings: realized volatility time series appear rough, and the implied skew exhibits the same behavior.
Rough Heston implements this idea while maintaining analytical tractability, but at a high computational cost. Lifted Heston approximates the rough kernel with exponentials, remaining more efficient for simulation.
The results show that both rough models reduce overall pricing error relative to Heston, especially at short maturities. The two rough models are practically equivalent in pricing but differ in computational cost. Diagnostics on simulated paths confirm that the calibrated roughness is genuinely present in the path dynamics.

Questa tesi calibra tre modelli di volatilità stocastica sulla superficie di volatilità implicita dell'SPX: il classico modello di Heston, il Rough Heston e il Lifted Heston.
Il lavoro affronta un limite strutturale di Heston: il modello non riesce a riprodurre come il mercato steepens la skew della volatilità implicita verso scadenze brevi. Il mercato mostra che questa skew diventa più pronunciata al diminuire del tempo alla scadenza secondo una legge di potenza, mentre Heston la appiattisce. La soluzione è introdurre roughness attraverso un nucleo frazionario con parametro di Hurst H circa 0.1. Questo approccio riconcilia due evidenze empiriche: le serie storiche di volatilità realizzata appaiono rough, e la skew implicita mostra lo stesso comportamento.
Il Rough Heston implementa questa idea mantenendo tracciabilità analitica, ma con costo computazionale elevato. Il Lifted Heston approssima il nucleo rough con esponenziali, rimanendo più efficiente per la simulazione.
I risultati mostrano che entrambi i modelli rough riducono l'errore complessivo rispetto a Heston, soprattutto alle scadenze brevi. I due modelli rough sono praticamente equivalenti in pricing ma differiscono nel costo computazionale. La diagnostica su cammini simulati conferma che la roughness calibrata è realmente presente nella dinamica dei percorsi.