• algoritmo di de Casteljau (de Casteljau algorithm)
• curve di Bézier (Bézier curves)
• fit di dati (data fitting)
• interpolazione di Hermite (Hermite interpolation)
• retrazioni (retractions)
• varietà di Stiefel (Stiefel manifolds)
• varietà riemanniane (Riemannian manifolds)

Questa tesi tratta alcuni metodi di generalizzazione delle curve di Bézier, una particolare classe di curve polinomiali, a varietà riemanniane, e loro applicazioni alla risoluzione di particolari problemi di interpolazione e fitting.

Ci occupiamo di una versione dell'algoritmo di de Casteljau (una procedura per costruire curve di Bézier in spazi euclidei) che fa uso di geodetiche, e definiamo anche una classe di curve dette "di retrazione" che generalizzano le geodetiche. Analizziamo inoltre un metodo per costruire curve su una varietà a partire da curve di Bézier euclidee negli spazi tangenti.

Esprimiamo in termini di tali curve soluzioni del problema di interpolazione di Hermite (interpolazione di dati con velocità fissata in ogni dato) e del problema di fitting. Un caso particolare di questo secondo problema è l'interpolazione con curvatura geodetica minima.

Implementiamo in Matlab i metodi risolutivi di questi problemi e sperimentiamo in particolare sulla sfera e sulle varietà di Stiefel (varietà di matrici con colonne ortonormali).



This thesis explores several methods to generalize Bézier curves, a class of polynomial curves, to Riemannian manifolds, and their applications in solving specific data interpolation and data fitting problems.

We delve into a version of the de Casteljau algorithm (a procedure to construct Bézier curves in Euclidean spaces) that uses geodesics, and we also define the so-called "retraction curves" that are a generalization of geodesics. Furthermore, we analyze a method of constructing curves on a manifold by "blending" Bézier curves from tangent spaces.

We use these classes of curves to express solutions to the Hermite interpolation problem (data interpolation with a given velocity vector in each data point) and the data fitting problem. A special case of the latter problem is data interpolation with minimal geodesic curvature.

We implement the techniques for solving these problems in Matlab, and we experiment specifically on the sphere and on Stiefel manifolds (manifolds of matrices with orthonormal columns).