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Tesi etd-09072009-120838


Thesis type
Tesi di laurea specialistica
Author
DISARLO, VALENTINA
URN
etd-09072009-120838
Title
Iperbolicita' del complesso delle curve
Struttura
SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI
Corso di studi
MATEMATICA
Commissione
relatore Dott. Frigerio, Roberto
Parole chiave
  • complesso delle curve
  • Gromov-iperbolicita'
  • geometria iperbolica
  • topologia dimensione bassa
Data inizio appello
25/09/2009;
Consultabilità
completa
Riassunto analitico
Nel 1978, nel contesto della geometria degli spazi di Teichm\&#34;uller, Harvey introduce il complesso delle curve di una superficie puntata $(\Sigma,\Pi)$. Sono identificati dei dischi \emph{banali} in $\Sigma$: dischi ``embedded&#39;&#39;, ciascuno dei quali contiene al pi\`u un elemento di $\Pi$. Sono dette \emph{essenziali} le curve semplici chiuse che non sono bordo di tali dischi; ciascuna di esse, a meno di omotopia libera su $\Sigma \setminus \Pi$, costituisce un vertice per il complesso delle curve $\mathscr{T}(\Sigma,\Pi)$. Tale oggetto \`e un complesso simpliciale in cui un numero finito di vertici genera un simplesso se e solo se esistono realizzazioni disgiunte delle curve che li definiscono. Lo spazio $\mathscr{T}(\Sigma,\Pi)$ \`e metrizzabile: su di esso \`e possibile porre una distanza $d$ tale per cui tutti i lati abbiano lunghezza unitaria ed esso risulti uno spazio di lunghezze. <br><br>Il presente lavoro di tesi sviluppa il problema della Gromov-iperbolicit\`a del complesso delle curve. In un articolo del 1999 Howard A. Masur e Yair M. Minsky hanno mostrato che, fatta eccezione per un numero finito di casi, il complesso delle curve $(\mathscr{T}(\Sigma,\Pi),d)$ \`e uno spazio Gromov-iperbolico. Nel 2006 Brian Bowditch pubblica una diversa dimostrazione dello stesso teorema, utilizzando tecniche esclusivamente combinatorie. Questa tesi ripercorre la dimostrazione di tale teorema secondo la linea gi\`a esposta da Bowditch.<br><br>Complessivamente l&#39;elaborato si divide in cinque capitoli.<br>Nel primo capitolo si richiamano le definizioni di base della geometria di larga scala su spazi metrici, si presenta la definizione di Gromov-iperbolicit\`a e si illustrano alcune propriet\`a geometriche da essa implicate (in particolare, l&#39;esistenza di un \emph{sistema di centri e linee}).<br>Il secondo capitolo illustra diversi criteri di Gromov-iperbolicit\`a. Particolare risalto \`e dato ai criteri di disuguaglianze isoperimetriche ed al criterio di esistenza di linee e centri. Si mostra che, definita un&#39;opportuna nozione di \emph{bound isoperimetrico}, uno spazio che soddisfi un bound isoperimetrico subquadratico \`e Gromov-iperbolico; da tale teorema si deduce che uno spazio che ammette un sistema di linee e centri \`e Gromov-iperbolico. <br>Nel terzo capitolo vengono presentati il complesso delle curve e le sue prime propriet\`a. Si presentano i casi eccezionali; si mostra come in tutti gli altri casi il complesso sia connesso per archi ed abbia dimensione finita (dipendente solo dal genere della superficie e dal numero delle punture). \`E definito il numero di intersezione fra due vertici ed \`e introdotto l&#39;1-scheletro del complesso, il cosiddetto \emph{grafo delle curve}. Il capitolo si conclude presentando una relazione numerica fra la distanza di due vertici sul complesso ed il loro rispettivo numero di intersezione. \\ <br>Il quarto capitolo \`e interamente dedicato alle superfici. Ivi si introducono le nozioni di superficie euclidea a singolarit\`a coniche, di lunghezze di curve su superfici singolari; \`e presentata una classe di curve \emph{efficienti} e si illustrano risultati di esistenza di anelli ``embedded&#39;&#39; di data ampiezza. Si illustra come, partendo da una superficie topologica puntata $(\Sigma, \Pi)$ e da un \emph{riferimento combinatorio} $\{\alpha,\beta\}$ su di essa, si possa costruire una superficie $S(\alpha,\beta)$ euclidea a singolarit\`a coniche. Le propriet\`a di tale superficie permettono di legare fra loro questioni combinatorie sul complesso delle curve e i risultati esposti sulle superfici euclidee a singolarit\`a coniche.<br>Nell&#39;ultimo capitolo si espone la dimostrazione del teorema di iperbolicit\`a del complesso. Tale problema \`e ricondotto a quello dell&#39;iperbolicit\`a del solo grafo; nella dimostrazione si d\`a esplicita costruzione di un sistema di linee e centri, utilizzando i risultati combinatori trovati nel quarto capitolo.
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