• anti-adiabatic superconductivity
• approssimazione di Migdal
• correzione di vertice
• Migdal's approximation
• superconduttività anti-adiabatica
• vertex correction

La teoria BCS ha mostrato che l’interazione elettrone-fonone è alla base della formazione delle coppie di Cooper, mentre la teoria di Eliashberg la generalizza includendo effetti dinamici e di ritardo, trascurando le correzioni di vertice grazie all’approssimazione di Migdal. Questa è valida in regime adiabatico, quando l’energia fononica è molto minore di quella di Fermi, ma può fallire in sistemi anti-adiabatici come gli idruri ad alta pressione.
In questa Tesi è stata calcolata analiticamente la prima correzione al vertice all’auto-energia elettronica dovuta all’interazione elettrone-fonone, stimandone la grandezza (della parte reale e immaginaria) rispetto al diagramma bare. La piccolezza di tale rapporto determina la validità della teoria di Eliashberg-Migdal.
Il sistema considerato comprende elettroni e fononi accoppiati tramite un’interazione di tipo Fröhlich, con un singolo modo fononico di Einstein e cutoff sui vettori d’onda, dispersione elettronica parabolica e larghezza di banda finita. La correzione al vertice è stata analizzata al variare delle tre scale energetiche fondamentali: energia fononica, energia di Fermi e larghezza di banda elettronica, assumendo propagatori liberi e un elemento di matrice indipendente dal vettore d’onda fononico.
I risultati mostrano che, per processi di backscattering fononico, la correzione non è trascurabile in nessuno dei regimi anti-adiabatici considerati; nei processi di forward scattering, si osserva invece una divergenza della prima correzione.

BCS theory has shown that electron-phonon interaction underlies the formation of Cooper pairs. Eliashberg theory generalizes it by including dynamical and retardation effects, neglecting vertex corrections thanks to Migdal’s approximation. This approximation is valid in the adiabatic regime, when the phonon energy is much smaller than the Fermi energy, but it may fail in anti-adiabatic systems such as high-pressure hydrides.
In this Thesis, the first vertex correction to the electronic self-energy due to the electron-phonon interaction has been calculated analytically, estimating its magnitude (real and imaginary parts) relative to the bare diagram. The smallness of this ratio determines the validity of Eliashberg-Migdal theory.
The system considered comprises electrons and phonons coupled via a Fröhlich-type interaction, with a single Einstein phonon mode and a cutoff on phonon wave vectors, parabolic electronic dispersion, and a finite electronic bandwidth. The vertex correction was estimated by setting different values of the three fundamental energy scales: phonon energy, Fermi energy, and electronic bandwidth. Free propagators and a matrix element independent of the phonon wave vector were assumed.
The results show that, for phonon backscattering processes, the correction is not negligible in any of the anti-adiabatic regimes considered; for forward scattering processes, on the other hand, the first correction exhibits a divergence.