• geometria iperbolica
• topologia della bassa dimensione
• congettura di geometrizzazione
• hyperbolic geometry
• low-dimensional topology
• geometrisation conjecture

A metà degli anni 70, il matematico statunitense William Thurston propose una Congettura di Geometrizzazione. Essa asseriva che ogni 3-varietà compatta e orientabile potesse essere decomposta in un numero finito di pezzi, ciascuno dotabile di una opportuna geometria. Le geometrie menzionate da Thurston furono di $8$ tipi: a quelle sferica, piatta e iperbolica si aggiunsero altre ottenibili come ``combinazioni" di queste tre.

Thurston dimostrò la congettura nel caso delle varietà fibranti sul cerchio e successivamente nel caso delle varietà di Haken. Seppur le varietà di Haken costituiscano una classe molto ampia di $3$-varietà, la congettura rimase indimostrata per quasi 30 anni, quando venne provata dal matematico russo Grigorij J. Perelman nel 2002. Egli utilizzò tecniche proprie dell'Analisi Geometrica e molto differenti da quelle di Thurston.

L'obiettivo di questo documento è la presentazione di una dimostrazione del Teorema di Iperbolizzazione delle $3$-varietà fibranti sul cerchio: tale teorema caratterizza quali varietà fibranti sul cerchio siano dotabili di una geometria iperbolica. Analogamente a ciò che succede per le superfici, viene fuori che la maggior parte delle varietà fibranti sul cerchio sono iperboliche.

La dimostrazione presentata è principalmente ispirata a quella mostrata da John H. Hubbard in "Teichmuller Theory and Apllications to Geometry, Topology, and Dynamics", anche se non mancano i riferimenti al lavoro di Jean-Pierre Otal in "The Hyperbolization Theorem for Fibered 3-Manifolds".