ETD

• Admissible covers of curves
• Compactification of moduli spaces
• Compattificazione di spazi di moduli
• Curve iperellittiche
• Curve tropicali
• Hyperelliptic curves
• Moduli space
• Moduli space of curves
• Rivestimenti ammissibili di curve
• Spazi di moduli tropicali
• Spazio di moduli
• Spazio di moduli delle curve
• Tropical curve
• Tropical moduli space
• Tropicalization
• Tropicalizzazione

The aim of the thesis is to study the moduli space of hyperelliptic curves from the point of view of tropicalization.
We first recall the required theory on tropicalization, toric varieties and generalized cone complexes, then we relay the basic facts about the tropicalization of the moduli space of curve, introducing the notion of tropical curves along the way. After this we recount the theory of hyperelliptic tropical curves and their tropical moduli space.
In the last chapter we bring everything together by identifying the restriction of the tropicalization map of the moduli space of curves to the hyperelliptic locus with a tropicalization map computed via a compactification of the moduli space of hyperelliptic curves obtained via admissible covers. This comparison and the study of its image leads us to an alternative proof of a well known lifting criterion for hyperelliptic tropical curves.

L'obiettivo della tesi è studiare lo spazio di moduli delle curve iperellittiche dal punto di vista della tropicalizzazione.
Iniziamo ricordando la teoria necessaria sulle tropicalizzazioni, varietà toriche e complessi di coni generalizzati, dopodiché riportiamo la teoria basilare sulla tropicalizzazione dello spazio di moduli di curve, introducendo anche la nozione di curve tropicali. Successivamente esponiamo la teoria delle curve iperellittiche tropicali e del loro spazio di moduli tropicale.
Nell'ultimo capitolo sintetizziamo il tutto dando una identificazione tra la restrizione al luogo iperellittico della mappa di tropicalizzazione associata allo spazio di moduli di curve e la mappa di tropicalizzazione associata ad una compattificazione dello spazio di moduli di curve iperellittiche costruita tramite rivestimenti ammissibili. Questo confronto ci porta ad una dimostrazione alternativa di un criterio noto in letteratura sulla "sollevabilità" di curve iperellittiche tropicali.