• geometria Riemanniana
• optimal transport
• Riemannian geometry
• trasporto ottimo

Questa tesi si occupa del problema del trasporto ottimo, con particolare attenzione all'interazione tra la mappa di trasporto ottimale e la geometria dello spazio di base, assumendo su di esso una struttura Riemanniana.
Nel primo capitolo vengono presentati alcuni prerequisiti di teoria della misura e di geometria Riemanniana.
Il secondo capitolo contiene una trattazione classica della teoria generale del trasporto ottimo di massa: dalle formulazioni dei problemi di Monge e Kantorovich fino a una dimostrazione dell'esistenza di una soluzione al problema, passando per la dualità di Kantorovich-Rubinstein.
Il terzo capitolo si concentra sul caso di una varietà Riemanniana compatta M con funzione costo d_M^2/2, dove d_M denota la distanza geodetica. Si dimostra il teorema di McCann sull'esistenza e unicità della mappa di trasporto ottimale. Per gestire l'assenza di regolarità della funzione d_M^2(-, y), generalmente differenziabile solo in un intorno del punto y, si introducono strumenti di analisi nonsmooth (sottodifferenziali e sopradifferenziali), adattandoli al contesto Riemanniano.
Nel capitolo finale si presentano e discutono due esempi di discontinuità della mappa di trasporto ottimale costruita. La tesi si conclude con una panoramica dello stato dell'arte sulle condizioni necessarie e sufficienti per la continuità, problema tuttora aperto.

This thesis investigates the optimal transport problem, focusing on the interaction between the optimal transport map and the geometry of the underlying space, assuming it’s equipped with a Riemannian structure.
The first chapter presents some prerequisites in measure theory and Riemannian geometry.
The second chapter provides a classical exposition of the general theory of optimal transport, starting from the formulations of the Monge and Kantorovich problems and culminating in a proof of the existence of a solution, via the Kantorovich–Rubinstein duality.
The third chapter focuses on the setting of a compact Riemannian manifold M, with cost function d_M^2/2, where d_M denotes the geodesic distance. McCann’s theorem on the existence and uniqueness of the optimal transport map is proven. To deal with the lack of regularity of the squared distance function d_M^2(-, y), which is generally differentiable only in a neighborhood of the point y, tools from nonsmooth analysis (subdifferentials and superdifferentials) are introduced and suitably adapted to the Riemannian setting.
The final chapter presents and discusses two examples in which the optimal transport map thus constructed is discontinuous. The thesis concludes with an overview of the current state of the art concerning necessary and sufficient conditions for continuity, a question that is still an open problem.