• elementi interni
• internal elements
• nonstandard universes
• ultrafilters
• ultrafiltri
• universi non standard

Oggetto di questa tesi è la costruzione di universi non standard con determinate proprietà. Richiamiamo che un universo non standard è un embedding elementare limitato * tra due strutture insiemistiche V(X) e V(Y) che estende strettamente ogni insieme infinito. Gli elementi di
V(Y) nell'immagine dell'embedding * si dicono standard, quelli che appartengono a qualche insieme standard si dicono interni. Proponiamo di studiare gli universi non standard che definiamo moderati, ossia quelli in cui ogni funzione interna da *X in sé è definibile con un parametro in *X e in cui ogni ultrafiltro su X è generato da un elemento non standard.

I risultati principali di questo lavoro sono una caratterizzazione degli ultrafiltri che generano un'ultrapotenza limitata moderata, e una costruzione che permette di ottenere un universo non standard
moderato su qualsiasi insieme infinito X dato. La prima caratterizzazione si basa sullo studio del preordine di Rudin-Keisler nella categoria degli ultrafiltri. La costruzione fa uso
dell'inviluppo di Skolem, e si può anche reinterpretare in termini di ultrapotenze limite limitate.

Lasciamo aperta la domanda circa l'esistenza di ultrafiltri che generano ultrapotenze moderate, ossia ultrafiltri che soddisfano la nostra caratterizzazione.


This thesis focuses on the construction of nonstandard universes with some specific properties. We recall that a nonstandard universe is a bounded elementary embedding * between two set-theoretic structures V(X) and V(Y) which strictly extends every infinite set. The elements of V(Y) in the image of the embedding * are called standard, and those that belong to some standard set are called internal. We propose to investigate the nonstandard universes which we call moderate, namely
those in which every internal function from *X to itself is definable with a parameter in *X and every ultrafilter on X is generated by a nonstandard element.

The main results of this work are a characterization of those ultrafilters that generate moderate bounded ultrapower, and a construction which produces a moderate nonstandard universe over any
given infinite set X. The first characterization is based on the study of the Rudin-Keisler preorder on the category of ultrafilters. The construction makes use of the Skolem hull, and can be reinterpreted as a bounded limit ultrapower.

We leave open the question of whether there exist ultrafilters that generate moderate ultrapowers, namely, ultrafilters satisfying our characterization.