ETD

• Fractal geometry
• Fractional perimeter
• Geometric Measure Theory
• Isoperimetric inequality
• Kakeya sets
• Sub-Riemmanian geometry

Chapter 1 concerns the construction of pathological sets of lines in R^n. Some examples include Besicovitch sets, which have zero Lebesgue measure and contain a line in every direction, and Davies sets, which are collections of lines that cover a set of positive Lebesgue measure while having zero measure outside of it. Our original contribution is the construction of 2-purely unrectifiable Besicovitch and Davies sets that consist of mutually disjoint lines. We also conside parametrizations of such sets that are Holder regular, providing examples that are optimal in this sense. We use a Baire Category approach.

Chapter 2 concerns the construction of unrectifiable hypersurfaces in Carnot groups. We construct intrinsically C^{1, alpha} hypersurfaces, for every alpha between 0 and 1, that have fractional Euclidean dimension. Our construction is sharp in step-2 groups, as it attains the maximal Euclidean dimension compatible with the prescribed intrinsic regularity. Moreover, by slicing these hypersurfaces, we obtain lower-codimensional surfaces that remain Euclidean non-rectifiable.

Chapter 3 focuses on the fractional isoperimetric inequality between the s-perimeter and the t-perimeter, for 0<s<t<1. We show that the constant provided by the ball is locally optimal: any sufficiently small graph perturbation of the ball leads to a strictly larger constant.

Il Capitolo 1 riguarda la costruzione di insiemi patologici di rette in R^n. Alcuni esempi includono gli insiemi di Besicovitch, che hanno misura di Lebesgue nulla e contengono una retta in ogni direzione, e gli insiemi di Davies, che sono collezioni di rette che coprono un insieme di misura di Lebesgue positiva pur avendo misura nulla al di fuori di esso. Il nostro contributo originale consiste nella costruzione di insiemi di Besicovitch e di Davies 2-puramente non rettificabili costituiti da rette mutuamente disgiunte. Costruiamo inoltre insiemi con parametrizzazione di regolarità Hölder, fornendo esempi che risultano ottimali in questo senso. Utilizziamo un approccio basato sul Teorema della Categoria di Baire.

Il Capitolo 2 riguarda la costruzione di ipersuperfici irrettificabili nei gruppi di Carnot. Costruiamo ipersuperfici intrinsecamente C^{1, alpha}, per ogni alpha compreso tra 0 e 1, che hanno dimensione euclidea frazionaria. La nostra costruzione è ottimale nei gruppi di passo 2, in quanto raggiunge la massima dimensione euclidea compatibile con la regolarità intrinseca prescritta. Inoltre, affettando queste ipersuperfici, otteniamo superfici di codimensione inferiore che rimangono euclideamente non rettificabili.

Il Capitolo 3 si concentra sulla disuguaglianza isoperimetrica frazionaria tra l's-perimetro e il t-perimetro, per 0 < s < t < 1. Mostriamo che la costante fornita dalla palla è localmente ottimale: qualsiasi perturbazione a grafico sufficientemente piccola della palla porta a una costante strettamente maggiore.