ETD

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• dynamics
• fem
• fracture
• nucleation
• phase-field models
• stability
• variational methods

Phase-field variational models are a well-established methodology for studying fracture nucleation in solids. The idea is to introduce a damage field α that smooths out sharp cracks: it takes the value 1 at the crack and vanishes in the sound material, with a transition over a band whose width is of the order of the smoothing length ℓ. A strength-degradation phase-field model is adopted, which allows independent control of strength and toughness.
In the quasi-static regime, inertia is negligible, and the evolution consists of a sequence of energy-minimizing states. Two analytical solutions are obtained: a homogeneous one, uniform throughout the structure, and a localized one, with damage concentrated in a specific region. Fracture nucleation corresponds to the loss of stability of the homogeneous solution in favor of the localized one. Depending on the ratio of characteristic lengths, three regimes are distinguished: brittle, cohesive, and homogeneous.
Many applications, however, are governed by inertial phenomena, in which fracture behavior can differ significantly from the quasi-static case. The extension to the dynamic regime constitutes the core of this work. The formulation is based on the principle of least action: inertia is incorporated into the Lagrangian, and the notion of stability is redefined in accordance with Lyapunov theory. Nucleation, no longer interpreted as the loss of an energy minimum, is identified with the growth over time of a perturbation of the homogeneous solution.
Numerical simulations, in agreement with the analytical results, show that quasi-static behavior is restored at low loading rates, while localization is progressively delayed as the loading rate increases.

I modelli variazionali di tipo phase-field costituiscono una metodologia consolidata per lo studio della nucleazione della frattura nei solidi. L'idea è introdurre un campo di danno α che regolarizza le cricche nette: vale 1 sulla cricca e si annulla nel materiale integro, con una transizione su una banda di ampiezza pari alla lunghezza di regolarizzazione ℓ. Si adotta il cosiddetto strength-degradation phase-field, che permette di controllare in modo indipendente resistenza e tenacità.
Nel regime quasi-statico l'inerzia è trascurabile e l'evoluzione è una successione di stati di minimo dell'energia. Si ricavano due soluzioni analitiche: una omogenea, uniforme sulla struttura, e una localizzata, con danno concentrato in una regione. La nucleazione corrisponde alla perdita di stabilità della soluzione omogenea a favore di quella localizzata. A seconda del rapporto tra le lunghezze caratteristiche si distinguono tre regimi: fragile, coesivo e omogeneo.
Molte applicazioni sono però governate da fenomeni inerziali, in cui il comportamento a frattura può differire notevolmente dal caso quasi-statico. L'estensione al regime dinamico costituisce il cuore del lavoro. La formulazione si basa sul principio di minima azione: l'inerzia entra nella Lagrangiana e la nozione di stabilità è ridefinita in accordo con la teoria di Lyapunov. La nucleazione, non più letta come perdita di minimalità dell'energia, è ricondotta alla crescita nel tempo di una perturbazione della soluzione omogenea.
Le simulazioni numeriche, in accordo con i risultati analitici, mostrano che a basse velocità di carico si recupera il comportamento quasi-statico, mentre all'aumentare della velocità la localizzazione risulta progressivamente ritardata.