• grafo
• handlebody
• neighborhood equivalenza
• quandle

Questo lavoro di tesi si propone di studiare alcuni particolari invarianti per grafi e per handlebodies.
In particolare concentriamo la nostra attenzione su grafi finiti tame e handlebodies embedded in S^3.

Due grafi si dicono equivalenti se esiste un'isotopia di S^3 che trasforma l'uno nell'altro.
Esiste anche un altro tipo di equivalenza sui grafi, la neighborhood equivalenza, introdotta da Suzuki.
Due grafi G_1 e G_2 si dicono neighborhood equivalenti se esiste un'isotopia di S^3 che trasforma l'intorno regolare di G_1 nell'intorno regolare di G_2. In particolare questo definisce una relazione di equivalenza sugli handlebodies, in quanto per ogni handlebody H esiste un grafo trivalente di cui H è l'intorno regolare.

Come nel caso dei nodi, anche per i grafi esistono delle mosse di Reidemeister, che permettono di determinarne l'equivalenza studiando dei loro diagrammi qualsiasi. Esiste un simile risultato anche per la neighborhood equivalenza, infatti vedremo che due grafi risultano essere neighborhood equivalenti se e solo se due loro qualsiasi diagrammi possono essere ottenuti l'uno dall'altro tramite un numero finito di mosse di Reidemeister (per i grafi) e mosse IH. Questo però non esaurisce il problema, perché dati due diagrammi di grafi equivalenti, il numero di mosse necessarie per ottenere uno dall'altro potrebbe essere grandissimo. Per questo motivo spesso risulta più comodo studiare degli invarianti, che pur perdendo alcune informazioni sui grafi, sono più facilmente utilizzabili.

In questa ricerca di invarianti per i grafi e per gli handlebodies, rivestiranno un ruolo fondamentale i quandles, insiemi dotati di un'operazione con determinate proprietà (assiomi di quandle). I primi ad introdurre questa particolare struttura, in lavori diversi, furono Matveev e Joyce, entrambi alla ricerca di invarianti per i nodi. In effetti, dato che un invariante di nodi, per essere tale, deve essere invariante per mosse di Reidemeister, gli assiomi di quandle sono costruiti ad hoc per questo scopo.
Infatti assegniamo un elemento di un quandle (Q,*) a ciascun arco di un diagramma di un nodo orientato in modo che ad ogni incrocio, se a e b sono rispettivamente gli elementi assegnati al soprapasso e al sottopasso a destra (rispetto all'orientazione del soprapasso), al sottopasso a sinistra corrisponda l'elemento c=a*b: in questo modo gli assiomi di quandle sono esattamente le relazioni che devono soddisfare
gli elementi di (Q,*) per rispettare le mosse di Reidemeister.

In particolare, Matveev e Joyce riuscirono ad associare ad ogni nodo un particolare quandle, che dimostrarono essere un invariante, completo a meno dell'operazione che contemporaneamente cambia l'orientazione del nodo e inverte i sopra-sotto, e che oggi viene chiamato quandle fondamentale di un nodo.

Utilizzando i quandles è anche possibile definire le colorazioni quandle per i nodi, che risultano essere una generalizzazione delle colorazioni introdotte da Fox. Come vedremo, esse non sono altro che omomorfismi dal quandle fondamentale ad un quandle fissato (che solitamente si sceglie finito).
Le colorazioni quandle si possono estendere anche al caso dei grafi, ma per farlo è necessario dare dei "pesi" ad ogni lato, affinché si abbia l'invarianza per mosse di Reidemeister. I quandles e le colorazioni quandle saranno alla base anche di altri invarianti che studieremo e che risulteranno essere invarianti sia per l'equivalenza di grafi che per la neighborhood equivalenza.

Questo lavoro si articola in cinque capitoli: nel primo diamo le definizioni di quandle e di altri concetti ad esso correlati insieme con vari esempi, che saranno utili nei capitoli successivi; nel secondo invece forniamo le principali definizioni che riguardano i grafi e gli handlebodies e le relazioni di equivalenza definite su di essi, inoltre introduciamo le colorazioni quandle per un grafo e alcuni invarianti ad esse legati e nel terzo capitolo diamo degli esempi degli invarianti appena introdotti. Nel quarto capitolo utilizziamo le colorazioni quandle per costruire una teoria di coomologia da cui ricavare un invariante di cociclo per i grafi. Infine nel quinto capitolo ripercorriamo le costruzioni del quandle fondamentale di un nodo ideate da Matveev e Joyce e introduciamo il quandle fondamentale di un grafo, definito da Niebrzydowski: in particolare vedremo che tale quandle non è un invariante completo per i grafi e non è neppure un invariante per la neighborhood equivalenza. A partire dal quandle fondamentale, definiremo le colorazioni fondamentali per un grafo e vedremo quali relazioni intercorrono tra queste ultime e le colorazioni definite nel secondo capitolo. Introdurremo infine un nuovo quandle, il quandle fondamentale flowed, e le colorazioni da esso derivanti, mettendo in evidenza le differenze con le definizioni di colorazione date precedentemente.