• mASEP
• multiline queues
• nonsymmetric Macdonald Polynomials

Questa tesi è dedicata allo studio dei polinomi di Macdonald nella loro versione non simmetrica, che sono importanti perchè si specializzano a numerose famiglie di funzioni simmetriche, tra cui gli Schur polynomials e i Jack polynomials. Tali polinomi emergono come autofunzioni di una famiglia di operatori che commutano legati alla Double Affine Hecke Algebra (DAHA), la cui struttura viene presentata nel Capitolo 1. Qui si definiscono i polinomi di Macdonald nonsimmetrici e ne viene dimostrata l’esistenza, l’unicità e la triangolarità rispetto a un particolare ordine monomiale. Il Capitolo 2 introduce un prodotto scalare rispetto al quale tali polinomi formano una base ortogonale. Infine, nel Capitolo 3 si esplora la connessione tra questi polinomi, i multiline queues e il modello di particelle mASEP su anello, evidenziando un legame tra la distribuzione stazionaria del sistema e la funzione generatrice dei polinomi di Macdonald non simmetrici.

This thesis is devoted to the study of nonsymmetric Macdonald polynomials, which are important due to their specializations to several families of symmetric functions, including Schur polynomials and Jack polynomials. These polynomials arise as eigenfunctions of a family of commuting operators associated with the Double Affine Hecke Algebra (DAHA), whose structure is introduced in Chapter 1. There, the nonsymmetric Macdonald polynomials are defined, and their existence, uniqueness, and triangularity with respect to a specific monomial order are established. Chapter 2 introduces a scalar product with respect to which these polynomials form an orthogonal basis. Finally, Chapter 3 explores the connection between these polynomials, multiline queues, and the mASEP particle model on a ring, highlighting a link between the stationary distribution of the system and the generating function of nonsymmetric Macdonald polynomials.