• Black Holes
• Buchi neri
• Correzioni quantistiche
• Quantum Corrections
• Termodinamica
• Thermodynamics

Il presente elaborato di tesi è dedicato allo studio della meccanica dei buchi neri, le cui leggi mostrano un’analogia formale con quelle della termodinamica classica. Grazie ai lavori di Hawking e collaboratori, è stato possibile stabilire una corrispondenza quantitativa tra la gravità superficiale del buco nero, l’area dell’orizzonte degli eventi e la massa, rispettivamente con la temperatura, l’entropia e l’energia del buco nero stesso. In tale contesto, il buco nero può essere considerato a tutti gli effetti un sistema termodinamico, dotato di una temperatura ben definita e che si può dimostrare obbedisca alle quattro leggi della termodinamica classica. Inoltre, grandezze fisiche osservabili come l’energia e l’entropia possono essere ottenute a partire dallo studio della funzione di partizione classica.
La funzione di partizione del sistema può essere ottenuta impiegando il formalismo del path integral euclideo, sviluppato tramite un’espansione attorno al punto sella e mediante una continuazione analitica dell’azione del buco nero nel tempo euclideo, ossia a temperatura finita. Un aspetto tecnico rilevante che emerge nel calcolo dell’azione euclidea è la presenza di singolarità coniche, la cui analisi risulta fondamentale per determinare la temperatura di Hawking a partire da una condizione di equilibrio.
L’obiettivo principale del presente lavoro di tesi è l’analisi delle correzioni quantistiche alle leggi della termodinamica oltre l’approssimazione di punto sella, nel caso di un buco nero carico, descritto dalla metrica di Reissner-Nordström. Nell’ambito dell’analisi sviluppata, si è considerata l’azione efficace quantistica, la quale incorpora le correzioni all’azione euclidea dovute all’integrazione e alla rinormalizzazione delle fluttuazioni quantistiche di campi conformi. Tali contributi quantistici comportano la rottura dell’invarianza sotto trasformazioni di Weyl, simmetria che è invece preservata a livello classico, rendendo necessaria l’introduzione di un termine additivo supplementare legato all’anomalia della traccia. È proprio quest’ultimo a essere responsabile delle correzioni oltre l’approssimazione semiclassica. Il caso del buco nero di Schwarzschild è stato precedentemente studiato da Fursaev e collaboratori, i quali hanno mostrato che tali effetti conducono a un termine correttivo addizionale nell’entropia, proporzionale al logaritmo dell’area dell’orizzonte del buco nero.
L’obiettivo finale e il risultato principale del presente lavoro è l’applicazione del metodo proposto da Fursaev allo studio della termodinamica del buco nero di Reissner-Nordström, anche in presenza di singolarità coniche, al fine di valutare le implicazioni che i campi quantistici hanno sulla seconda legge della termodinamica dei buchi neri, includendo non solo il termine “meccanico” relativo alla carica, ma anche una discussione sulla stabilità termodinamica al di là della stima al punto sella.
Il presente lavoro costituisce un primo passo verso futuri sviluppi nell’analisi delle fluttuazioni quantistiche legate al contributo di momento angolare nella seconda legge della meccanica dei buchi neri, attraverso lo studio della termodinamica della soluzione di buco nero rotante, descritta dalla metrica di Kerr. Sebbene siano stati offerti alcuni spunti preliminari, un’analisi più approfondita sarà oggetto di studi successivi.

Versione Inglese:

The thesis project focuses on the study of black hole mechanics, whose laws present an analogy with those of classical thermodynamics. Thanks to the work of Hawking and collaborators, it is possible to establish a quantitative connection between the horizon’s surface gravity, its area, and the mass of a black hole, respectively with temperature, entropy, and energy. In practice, a black hole can be interpreted as a thermodynamic system, which is characterized by a well-defined temperature. Furthermore, observable physical quantities, such as energy and entropy, can be derived from the study
of the classical partition function.
The partition function of the system can be obtained exploiting the Path Integral formalism in a saddle-point expansion, performing an analytical continuation on the Euclidean patch of the black hole action, i.e., at finite temperature. An additional complication that emerges in the computations of the Euclidean action is having to deal with conical singularities, which are useful to determine the Hawking’s temperature from an equilibrium condition.
The main objective of the thesis is to find quantum corrections to all the ingredients of the laws of thermodynamics beyond the saddle-point analysis for charged Reissner-Nordström
black holes. In our analysis we have considered the quantum effective action, that contains
the corrections to the Euclidean action coming from the integration and renormalization of quantum fluctuations of conformal fields. The quantum action leads to a breaking of the invariance under Weyl transformations, making it necessary to consider an additional additive term, related to the trace-anomaly, which is responsible for the corrections beyond the saddle-point. The case of the Schwarzschild black hole has already been discussed in the past by Fursaev and collaborators, who have shown that an additional contribution proportional to the logarithm of the black hole area arises.
The final goal and expected outcome of this project is to apply Fursaev’s treatment to the study of the thermodynamics of Reissner-Nordström black holes, also in presence of conical singularities, in order to evaluate the implications that quantum fields have on the entirety of the second law of black holes thermodynamics, including the more “mechanical” terms involving charge, but also to discuss their thermodynamical stability beyond the saddle-point estimate.
This work represents a first step toward future developments in the analysis of quantum fluctuations associated with the angular momentum contribution to the second law of black holes mechanics, through the study of the thermodynamics of the spinning black hole solution described by the Kerr metric. Although some preliminary insights have been provided, a more detailed analysis will be the subject of future investigations.