• combinatoria
• funzioni simmetriche
• teoria delle rappresentazioni

Questa tesi si occupa dello studio dell’anello delle funzioni simmetriche e del legame profondo che esso intrattiene con la teoria della rappresentazione del gruppo simmetrico S_n e del gruppo lineare generale GL(n,C). Un punto chiave di questa connessione è costituito dalle funzioni di Schur, una particolare base dell’anello delle funzioni simmetriche che svolge un ruolo centrale nella descrizione dei caratteri delle rappresentazioni polinomiali irriducibili del gruppo GL(n,C). Infatti, tali caratteri possono essere ottenuti valutando le funzioni di Schur sugli autovalori degli elementi del gruppo.
Grazie a questa proprietà, le funzioni di Schur permettono di decomporre moduli di rappresentazione di GL(n,C) in sottospazi irriducibili. In particolare, il prodotto tensoriale di due rappresentazioni irriducibili si traduce nel prodotto di funzioni di Schur, dove i coefficienti che compaiono (noti come coefficienti di Littlewood-Richardson) indicano la molteplicità con cui una rappresentazione irriducibile compare nel prodotto tensoriale. Questi coefficienti coincidono con i coefficienti di struttura della base delle funzioni di Schur.
Nel caso del gruppo simmetrico, il comportamento del prodotto tensoriale è più complicato, poiché la molteplicità delle rappresentazioni irriducibili può dipendere da n. Tuttavia, per n sufficientemente grande, queste molteplicità si stabilizzano e danno origine ai cosiddetti coefficienti di Kronecker stabili. Uno dei risultati principali di questa tesi è la costruzione di una nuova base dell’anello delle funzioni simmetriche, detta base dei caratteri irriducibili (o base tilde-s), i cui coefficienti di struttura sono proprio i coefficienti di Kronecker stabili. Questa base assume per il gruppo simmetrico un ruolo analogo a quello che la base delle funzioni di Schur ha per il gruppo GL(n,C).
Dal punto di vista teorico, si può costruire una corrispondenza tra l’anello delle rappresentazioni polinomiali di GL(n,C) e l’anello delle funzioni simmetriche mediante un’isomorfismo definito tramite la traccia. In modo del tutto simile, viene definita una mappa che associa a ogni rappresentazione irriducibile del gruppo simmetrico un elemento della nuova base tilde-s, facendo sì che tutte le operazioni risultino compatibili con la restrizione delle rappresentazioni da GL(n,C) a S_n.
L’espansione di una funzione di Schur nella base tilde-s corrisponde al problema della restrizione: ovvero, come si decompone una rappresentazione irriducibile di GL(n,C) quando viene considerata come rappresentazione di S_n. I coefficienti di questa espansione rappresentano proprio le molteplicità con cui le rappresentazioni irriducibili di S_n compaiono nella decomposizione. Tali coefficienti sono stati calcolati da Littlewood e Thibon mediante formule basate su prodotti scalari, ma non è ancora nota una loro interpretazione puramente combinatoria.
Un ulteriore punto di interesse è la relazione tra le funzioni simmetriche di potenza e le basi delle funzioni simmetriche in relazione ai caratteri dei gruppi finiti. È noto, infatti, che i caratteri irriducibili del gruppo simmetrico compaiono nei cambi di base da funzioni di potenza a funzioni di Schur. Un’analoga relazione è stata individuata con una struttura algebrica introdotta nei primi del Novecento: l’algebra delle partizioni.
L’algebra delle partizioni, introdotta da Martin e Jones, è risultata essere duale di Schur-Weyl rispetto all’azione diagonale del gruppo simmetrico sul prodotto tensore di uno spazio vettoriale. Quando S_n è realizzato come sottogruppo di GL(n,C) tramite matrici di permutazione, l’algebra delle partizioni emerge come algebrica centralizzante di quest’azione. I caratteri irriducibili dell’algebra delle partizioni, valutati su elementi che giocano un ruolo analogo a quello delle classi coniugate del gruppo simmetrico, compaiono nei cambi di base tra le funzioni di potenza e la nuova base tilde-s. In altre parole, i caratteri dell’algebra delle partizioni forniscono l’analogo, per la base tilde-s, di ciò che i caratteri del gruppo simmetrico rappresentano per la base di Schur.
In conclusione, questa tesi esplora una nuova prospettiva sull’interazione tra funzioni simmetriche e teoria delle rappresentazioni, sviluppando una nuova base dell’anello delle funzioni simmetriche che codifica in maniera naturale i caratteri irriducibili del gruppo simmetrico attraverso la lente dell’algebra delle partizioni e del suo ruolo nella dualità di Schur-Weyl. La base tilde-s si afferma così come un potente strumento teorico, parallelo alla base di Schur, ma centrato sulle rappresentazioni del gruppo simmetrico.