• mics
• ideali abeliani lunghi
• minimal inversion complete sets
• sottoalgebre commutative
• gruppi di Weyl affini

Il proposito della tesi è studiare la teoria classica degli ideali abeliani di una sottoalgebra di borel di un'algebra di lie semplice complessa G e di presentare alcune sue applicazioni.
Sottolineando innanzitutto il legame tra abelianità e combinatoria delle radici, presentiamo una dimostrazione del Teorema di Peterson sul numero di ideali abeliani di una sottoalgebra di borel per poi descrivere una parametrizzazione esplicita degli stessi per mezzo dei minimal coset representatives di opportune classi lateali.
Studiamo in seguito gli ideali abeliani massimali mostrando che sono in bigezione con le radici semplici lunghe del sistema di radici di G e ne diamo una descrizione esplicita per le famiglie A_n, B_n, C_n e D_n e per le lagebre eccezionali F_4 e G_2.
Passiamo poi a presentare alcune applicazioni di tale teoria nell'ambito delle rappresentazioni di Isotropia e nello studio dei minimal inversion complete sets dei gruppi di Coxeter cristallografici.