ETD

• Coppie di Gelfand
• Funzioni di tipo positivo
• Operatori differenziali invarianti per traslazion
• Trasformata di Fourier sferica

Dato un gruppo topologico G e un sottogruppo compatto K, considero le funzioni continue a supporto compatto su G biinvarianti per K, ovvero costanti sui laterali doppi KgK: queste formano una sottoalgebra rispetto alla convoluzione. Se tale sottoalgebra è commutativa, la coppia (G,K) è detta coppia di Gefand.
Tratto quindi alcune proprietà delle coppie di Gelfand e delle funzioni biinvarianti per K, e considero le funzioni sferiche, ovvero quelle funzioni continue f per cui l'applicazione che manda g nell'integrale di g(x)f(x^-1) è un carattere rispetto alla convoluzione.

Successivamente, tratto i concetti precedenti nel caso in cui G e K siano gruppi di Lie: in tal caso, la coppia (G,K) è di Gelfand se e solo se l'algebra degli operatori differenziali su G/K invarianti per G-traslazione sinistra è commutativa, e una funzione continua su G è sferica se e solo se è analitica, vale uno nell'unità di G ed è autofunzione dei suddetti operatori invarianti.

Considero poi la trasformata di Fourier sferica, che riproduce il concetto classico di trasformata di Fourier nel caso delle coppie di Gelfand, sostituendo alle tradizionali funzioni esponenziali immaginarie le funzioni sferiche limitate.

Infine, concludo con qualche esempio significativo di coppie di Gelfand.