• close encounters
• conjunction detection
• critical points
• orbit determination
• space debris
• sphere of influence

La possibilità di studiare e predire incontri ravvicinati e potenziali collisioni tra oggetti è estremamente utile, sia per applicazioni ad oggetti naturali che artificiali.
Un modo per approssimare il moto di un corpo piccolo che ha un incontro ravvicinato con un pianeta è il metodo delle patched-conics. Usando questo modello, la traiettoria del piccolo corpo è descritta da una sequenza di traiettorie a 2-corpi diverse che vengono collegate al bordo della sfera di influenza del pianeta. Le definizioni classiche del raggio della sfera di influenza considerano solo il rapporto tra le masse e la distanza tra Sole e pianeta. Tuttavia, studi più recenti hanno ricavato che il valore del raggio della sfera dovrebbe dipendere anche dallo stato del corpo piccolo per ottenere un'approssimazione migliore con il metodo delle patched-conics. Nella prima parte della tesi ricaviamo un un metodo di ottimizzazione per la definizione del raggio della sfera di influenza pensato in particolare per l'applicazione del metodo delle patched-conics. Il processo di ottimizzazione è basato sulla minimizzazione di una funzione obiettivo che assicura che la traiettoria che otteniamo con il metodo delle patched-conics approssima il più possibile quella che il piccolo corpo seguirebbe nel problema a 3-corpi ristretto circolare, con particolare attenzione al momento di minima distanza tra piccolo corpo e pianeta e allo stato finale. Discutiamo anche alcune proprietà degli incontri ravvicinati e utilizziamo il parametro di Tisserand per capire quando il piccolo corpo è sicuramente lontano da un incontro con un pianeta. Infine, usiamo la nuova definizione di sfera di influenza per costruire una mappa simplettica per lo studio di incontri multipli tra un corpo piccolo e lo stesso pianeta.
Un modo per escludere la possibilità di incontri ravvicinati tra due oggetti può essere controllare il valore della distanza tra le loro traiettorie. Nella seconda parte della tesi deriviamo metodi diversi per il calcolo di tutti i punti critici della distanza tra due traiettorie Kepleriane con un fuoco in comune. Consideriamo espressioni diverse per la distanza e otteniamo sistemi di polinomi ordinari o trigonometrici in due variabili, le cui soluzioni corrispondono ai punti critici della distanza. Applichiamo la teoria del risultante per ridurre il problema al calcolo delle radici di un polinomio di una sola variabile.
Data la crescita continua del numero di satelliti attivi e di detriti spaziali in orbita intorno alla Terra, è sempre più importante riuscire a predire potenziali collisioni, in modo da mantenere i satelliti attivi ed evitare evoluzioni catastrofiche del sistema. Nella terza parte applichiamo una serie di filtri che ci permettono di trovare tutte le occasioni in cui due oggetti in orbita intorno alla Terra si avvicinano l'uno all'altro. A causa dell'elevato numero di possibili coppie di oggetti da considerare, l'applicazione di filtri è necessaria per diminuire il tempo di calcolo. Sfruttiamo proprietà, come la bassa inclinazione relativa tra due traiettorie o la bassa eccentricità, per dividere le coppie in categorie per velocizzare il procedimento e usiamo tecniche di parallelizzazione per completare l'intero processo in un tempo ragionevole.
Nell'ultima parte della tesi ci occupiamo di migliorare metodi di determinazione orbitale preliminare basati sulla conservazione degli integrali Kepleriani. In particolare, applichiamo correzioni differenziali a due corpi per migliorare l'orbita preliminare quando l'approssimazione Kepleriana è più appropriata. Quando invece il moto Kepleriano viene perturbato a causa della forma non-sferica del corpo centrale, proponiamo un metodo iterativo che permette di includere l'effetto secolare dovuto al termine del J2 nel potenziale gravitazionale.

The ability to study, model and predict close encounters and potential collisions between objects is extremely useful, whether it is applied to natural or artificial objects.
A way to approximate the motion of a small object that undergoes a close encounter with a planet, is the patched-conic method. Using this model, the trajectory of the small body is described as a sequence of different 2-body trajectories that get connected to one another at the boundary of the sphere of influence of the planet. The classical definitions of the radius of the sphere of influence of a planet give values that only depend on the mass ratio and on the distance between the planet and the Sun. However, more recent studies have found that the value of the radius of the sphere of influence should also depend on the state of the small object in order to obtain a better approximation through the patched-conic method. In the first part we develop and test an optimization method for the definition of the sphere of influence, tailored in particular to the application of the patched-conic method. The optimization method is based on the minimization of a target function that ensures that the resulting patched-conic trajectory approximates as well as possible the trajectory that the small body would follow in the circular, restricted 3-body problem, with particular attention to the moment of closest approach and to the final state. A few properties of close encounters are also discussed and the Tisserand parameter is used to understand when the small body is certainly far from an encounter with the planet. Finally, our new definition of sphere of influence is used for the construction of a symplectic map to study multiple encounters between a small body and the same planet.
A way to exclude the possibility of close encounters between two objects is to check the minimum value of the distance between their trajectories. In the second part we derive different methods to compute all the critical points of the distance function between two Keplerian trajectories with a common focus. Different expressions for the distance function are considered leading to systems of either ordinary or trigonometric polynomials in two variables, whose solutions give all the critical points. Resultant theory is then applied to reduce the problem to the computation of the roots of a univariate polynomial.
With the ever-growing number of active satellites and space debris in orbit around the Earth, the detection of potential collisions has become more and more important in order to maintain the benefits provided by active satellites and to prevent catastrophic evolutions of the space environment. In the third part we apply a filter sequence that allows us to find all occasions when any two objects orbiting the Earth get close to one another. Due to the high number of pairs, the sequence of filters is necessary to decrease the computational cost. Properties of the pairs of objects (small mutual inclination, low eccentricity) are also used to distinguish pairs in different categories in order to speed up the process, and parallelization techniques are applied to complete the procedure in a reasonable time.
Improvements to preliminary orbit determination methods are proposed in the last part. In particular, starting from preliminary orbits computed with methods based on the conservation of the 2-body integrals, 2-body differential corrections are applied to refine the solution when the Keplerian approximation is suitable. Instead, when the Keplerian motion is perturbed because of the non-spherical shape of the central body, an iterative method is proposed to include the secular effect of the J2 term of the gravitational potential.