ETD

• Curve ellittiche
• Isogeny
• Selmer

Lo scopo principale di questo elaborato è stimare il rango di alcune famiglie di curve ellittiche $E$ definite su un campo di numeri $K$.

Inizieremo descrivendo in breve le curve ellittiche e alcune delle loro proprietà principali. Partiremo dalla definizione di equazione di Weierstrass per poi definire le isogenie e le isogenie duali.
Presenteremo poi dei risultati classici della teoria aritmetica delle curve ellittiche. Richiameremo il Teorema di Mordell-Weil e i risultati di Mazur relativi alla completa determinazione della parte di torsione del gruppo dei punti razionali.

Forniremo poi una breve introduzione alla coomologia di Galois e al Weil pairing, concludendo la parte introduttiva con l'algoritmo di Tate per la riduzione di
$E$ sui completamenti locali di $K$.

Nell'ultimo capitolo analizzeremo la successione esatta corta indotta dalla moltiplicazione per un intero $m$ su $E$ e ne deriveremo la successione esatta
lunga in coomologia.
Da questa definiremo il gruppo di Selmer $\text{Sel}_{m}(E/K)$ e il gruppo di Tate-Shafarevich $\Sha(E/K)$. ottenendo la successione esatta corta
\begin{equation}\label{eq:SelTate}
\begin{tikzcd}
0 \arrow[r] & E(K)/mE(K) \arrow[r, hook, "\delta"] & \text{Sel}_m(E/K) \arrow[r, two heads, "\gamma"] & \Sha(E/K)[m] \arrow[r] & 0
\end{tikzcd}
\end{equation}
Arrivati a questo punto il lavoro si concentra sullo studio del caso particolare $m=3$.
Applicheremo un procedimento di {\em 3-discesa} per studiare il quoziente
$E(K)/3E(K)$.
Procederemo scomponendo la moltiplicazione per $3$ in isogenie che ci
permetteranno di ricondurre il calcolo del rango allo studio di gruppi di Selmer relativi a isogenie di grado $3$, semplificando notevolmente l'analisi dei
contributi locali. Tali contributi verranno ricondotti al calcolo di particolari sottogruppi di $K^*/(K^*)^3$ di cui possiamo controllare il rango.
Infine, applicheremo tali metodi ad alcuni casi numerici espliciti.