ETD

• Betti moduli space
• De Rham moduli space
• Dolbeault moduli space
• Higgs bundles
• Hodge correspondence
• hyperkahler geometry

The main goal of this thesis is to prove an equivalence between three moduli spaces related to a fixed closed oriented Riemann surface: the Betti, de Rham and Dolbeault moduli spaces. The correspondence proved in this thesis is a particular case of the more general non-abelian Hodge correspondence. The Betti moduli space will be defined as a quotient of the space of representations of the fundamental group of the surface in a complex Lie group, by the conjugation action of the group. The de Rham moduli space will be defined as a quotient of the space of flat connections on a fixed complex vector bundle over the surface, by an action of the group of gauge transformations of the bundle. To define the Dolbeault moduli space, we will introduce the notion of Higgs bundles on a topologically trivial complex line bundle over a Riemann surface and an action of gauge transformations on Higgs bundles. We will define the Dolbeault moduli space as the quotient of the space of Higgs pairs on the fixed topologically trivial complex line bundle by this action. In the last part, we will describe the hyperkahler structure on these moduli spaces and we will describe them in terms of the period matrix of the Riemann surface.

L'obiettivo principale della tesi è quello di dimostrare l'equivalenza fra tre spazi di moduli, quello di Betti, di de Rham e di Dolbeault, definiti a partire da una fissata superficie di Riemann compatta, connessa, orientata e di genere positivo. L'equivalenza presentata è un caso particolare della più generale "corrispondenza non-abeliana di Hodge". Lo spazio dei moduli di Betti è definito come il quoziente dell'insieme delle rappresentazioni del gruppo fondamentale della superficie in un gruppo di Lie complesso per l'azione coniugio del gruppo. Quelli di de Rham e di Dolbeault sono definiti a partire da un fissato fibrato vettoriale liscio complesso sulla superficie. Il primo è definito come il quoziente dell'insieme delle connessioni piatte sul fibrato per l'azione del gruppo delle trasformazioni di gauge del fibrato. Il secondo è invece definito a partire dalla nozione di fibrato di Higgs e di coppia di Higgs sulla superficie. Esso è il quoziente dello spazio delle coppie di Higgs su un fibrato vettoriale complesso di rango uno topologicamente banale sulla superficie per l'azione delle trasformazioni di gauge del fibrato. La restante parte della tesi è dedicata allo studio della struttura hyperkahler su questi spazi e alla descrizione di essi in termini della Jacobiana della superficie.