ETD

• invariant cones
• maximal Lyapunov exponent
• metric entropy
• outer billiards
• secant area construction

This thesis is devoted to the study of outer billiards, a class of discrete, area-preserving dynamical systems with singularities defined outside strictly convex planar domains. The main focus of this work is a family of outer billiards introduced by Genin (2006), the only known examples of non-uniformly hyperbolic outer billiards. These systems are constructed via the secant area method by prescribing a square invariant curve.
The first main result of the thesis is the derivation of a quantitative lower bound for the metric entropy for these systems.
We then investigate possible geometric generalizations of this construction to better understand the role of symmetry in the emergence of hyperbolicity. In particular, we consider outer billiards defined by three hyperbolic symmetric arcs, as well as systems with four non-identical arcs obtained through a perturbation of the symmetric configuration. For these new outer billiards, we establish several properties concerning the existence of their periodic orbits and we perform numerical computations of the maximal Lyapunov exponent using Benettin’s algorithm, providing evidence that it is positive almost everywhere. The numerical simulations suggests that these systems exhibit non-uniform hyperbolicity and that the invariant area measure is ergodic. The results of this thesis contribute to the understanding of the geometric mechanisms underlying hyperbolicity in outer billiards.

Questa tesi è dedicata allo studio dei biliardi esterni, una classe di sistemi dinamici discreti che preservano l’area, con singolarità, definiti all’esterno di domini planari strettamente convessi. L’attenzione principale è rivolta a una famiglia di biliardi esterni introdotta da Genin (2006), che rappresenta l’unico esempio noto di biliardi esterni non uniformemente iperbolici. Tali sistemi sono costruiti mediante il metodo dell’area secante, imponendo come curva invariante un quadrato.
Il primo risultato principale della tesi consiste nella derivazione di un limite inferiore quantitativo per l’entropia metrica di questi sistemi.
Successivamente, si studiano possibili generalizzazioni geometriche di questa costruzione per comprendere meglio il ruolo della simmetria nell’emergere dell’iperbolicità. In particolare, si considerano biliardi esterni definiti da tre archi iperbolici simmetrici, così come sistemi con quattro archi non identici ottenuti tramite una perturbazione della configurazione simmetrica. Per questi nuovi sistemi, si stabiliscono diverse proprietà riguardanti l’esistenza di orbite periodiche e si eseguono calcoli numerici dell’esponente di Lyapunov massimo mediante l’algoritmo di Benettin, fornendo evidenze della sua positività quasi ovunque.
Le simulazioni numeriche suggeriscono che questi sistemi presentano iperbolicità non uniforme e che la misura invariante di area è ergodica. I risultati di questa tesi contribuiscono alla comprensione dei meccanismi geometrici alla base dell’iperbolicità nei biliardi esterni.