• Amyloid
• Kalman Filter
• Variational Method

Al giorno d'oggi, si riscontra sempre più la necessità di creare dei team di ricerca interdisciplinari, con i quali avanzare parallelamente in diversi campi di ricerca per poter, infine, allargare le nostre conoscenze. Questo lavoro vuole essere un esempio di come i matematici possono trovare il proprio posto in questo contesto di interdiscipinarietà. Si presenta, infatti, un lavoro svolto tra l'instituto di ricerca di matematica e informatica Inria (Rocquencourt, France) e l'instituto di ricerca biologica Inra (Jouy-en-Josas, France).
Il processo biologico al centro di questo studio è la polimerizzazione di proteine.
Questo fenomeno fu riscontrato la prima volta negli anni 60 ed identificato solo vent'anni dopo, nel 1982. Da allora, un crescente interesse ha spinto la comunità scientifica ad analizzare il fenomeno. La principale ragione di tale interesse è da ricercarsi nella singolare natura, a carattere "infettivo", che contraddistingue questi ammassi proteici. Si ipotizza, infatti, che esso sia alla base dell'insorgenza di alcune malattie, costituenti la classe delle amiloidosi. In questa classe di malattie figurano l'Alzheimer, il Parkinson, l'Encefalopatia spongiforme bovina (comunemente conosciuta come la mucca pazza), l'aviaria e il diabete di tipo II.
Il possibile contributo dei matematici alla ricerca sulle amiloidosi è vasto. In particolare, con questo lavoro, si affronta in un primo momento il problema della formulazione di un modello matematico. Ci si ispira, inizialmente, al lavoro del 1935 di Becker Döring per descrivere un processo di aggregazione-frammentazione. In seguito, grazie ad una serie di ipotesi, si ottiene un modello di equazioni differenziali ordinarie semplificato, ma comunque capace di descrivere i tratti principali del processo.
In un secondo momento, si affronta il problema della formulazione del problema inverso e i metodi per risolverlo. Si parla di problema inverso ogni qual volta, partendo dagli effetti, si cerca di risalire alle cause. Nello specifico, chiamiamo θᵢ le quantità che vogliamo conoscere. Consideriamo θ il vettore di componenti θᵢ. Inoltre, chiamiamo z il vettore che ha come componenti le osservazioni derivanti dagli esperimenti. Il vettore z dipende dal tempo e dalle variabili descritte dal nostro modello, chiamate x. Quindi, possiamo riassumere il sistema modello-osservazioni come segue

ẋ(θ(t),t) = A(x(t),θ(t),t) + Bω(t), t ∈ ℝ⁺

x(θ(0),0) = x⋄ + θ₀,

z = z(x(θ(t),t),θ(t),t)

dove A è l'operatore del modello e il termine Bω rappresenta l'errore di modello, ovvero l'insieme dei contributi dei processi non considerati nella formulazione del modello.
Nel nostro caso, l'osservazione è una misura della massa totale dei polimeri. Essa ci da un'idea su quale fenomeno tra aggregazione e frammentazione sia dominante nel corso dell'esperimento. Si considerano, tra le componenti di θ, i coefficienti cinetici legati a tali reazioni.
Si presentano, in seguito, due metodi di assimilazione dati. Tali metodi si occupano di determinare la migliore stima del vettore θ.
Il primo metodo è il Metodo Variazionale, nel quale si utilizzano algoritmi di minimizzazzione per cercare il minimo di un dato funzionale, J(θ). Tale minimo viene raggiunto, per costruzione, dai valori di θ tali che l'osservazione generata dalla funzione x(θ(t), t) sia una buona approssimazione di z(t). Tale metodo costruisce iterativamente una successione minimizzante per J, indicata con {θₙ} n≥0. Per ogni termine della successione, viene calcolata la soluzione x(θₙ(t),t), per ogni t appartentente alla finestra d'osservazione. A partire da questa, viene generata un'osservazione che viene confrontata con i valori della misura empirica. L'algoritmo si conclude quando l'esito di tale confronto soddisfa dei criteri fissati.
Il secondo metodo è un Metodo di Filtraggio. In particolare, viene utilizzato il Filtro di Kalman Esteso, dove il termine "esteso" deriva dal fatto che si considera un metodo ispirato dal Filtro di Kalman ed esteso al caso di sistemi nonlineari. Tale metodo calcola, per ogni tempo fissato t, uno stimatore x̂(t) del valore x(t). Tale stima è svolta in due passi. Nel primo si calcola un predizione, grazie al modello, e nel secondo si calcola una correzione, che modifica la predizione utilizzando le informazioni dell'osservazione, ovvero z(t). Quindi, la soluzione x̂, restituita dall'algoritmo, partendo da un dato valore iniziale, corregge la sua traiettoria nel tempo fino a ritrovare la traiettoria di x. Nel caso di modello lineare le due traiettorie coincidono alla fine della finestra temporale di osservazione, invece, nel caso non-lineare non ci sono tali garanzie.
In questo lavoro, sono inoltre presentate alcune simulazioni numeriche. Esse sono state eseguite a partire da dati sintetici, generati grazie al modello diretto e sulla base delle osservazioni reali. I due metodi di assimilazione dati, sono stati implementati a partire dalle funzioni della Biblioteca Matlab VerdandInMatlab sviluppata dal team dell Inria, M9DISIM.