• Amyloid
• Kalman Filter
• Variational Method

Al giorno d'oggi, si riscontra sempre piu la necessità di creare dei team di ricerca interdisciplinari, con i quali avanzare parallelamente in diversi campi di ricerca per poter,
inne, allargare le nostre conoscenze. Questo lavoro vuole essere un esempio di come i
matematici possono trovare il proprio posto in questo contesto di interdiscipinarieta. Si
presenta, infatti, un lavoro svolto tra l'instituto di ricerca di matematica e informatica
Inria (Rocquencourt, France) e l'instituto di ricerca biologica Inra (Jouy-en-Josas,
France).
Il processo biologico al centro di questo studio e la polimerizzazione di proteine.
Questo fenomeno fu riscontrato la prima volta negli anni 60 ed identicato solo vent'anni
dopo, nel 1982. Da allora, un crescente interesse ha spinto la comunita scientica ad
analizzare il fenomeno. La principale ragione di tale interesse e da ricercarsi nella singolare
natura, a carattere \ infettivo ", che contraddistingue questi ammassi proteici. Si
ipotizza, infatti, che esso sia alla base dell'insorgenza di alcune malattie, costituenti la
classe delle amiloidosi. In questa classe di malattie gurano l'Alzheimer, il Parkinson,
l'Encefalopatia spongiforme bovina (comunemente conosciuta come la mucca pazza),
l'aviaria e il diabete di tipo II.
Il possibile contributo dei matematici alla ricerca sulle amiloidosi e vasto. In particolare,
con questo lavoro, si aronta in un primo momento il problema della formulazione
di un modello matematico. Ci si ispira, inizialmente, al lavoro del 1935 di
Becker Doring per descrivere un processo di aggregazione-frammentazione. In seguito,
grazie ad una serie di ipotesi, si ottiene un modello di equazioni dierenziali ordinarie
semplicato, ma comunque capace di descrivere i tratti principali del processo.
In un secondo momento, si aronta il problema della formulazione del problema
inverso e i metodi per risolverlo. Si parla di problema inverso ogni qual volta, partendo
dagli eetti, si cerca di risalire alle cause. Nello specico, chiamiamo i le quantita che
vogliamo conoscere. Consideriamo  il vettore di componenti i. Inoltre, chiamiamo z
il vettore che ha come componenti le osservazioni derivanti dagli esperimenti. Il vettore
z dipende dal tempo e dalle variabili descritte dal nostro modello, chiamate x. Quindi,
possiamo riassumere il sistema modello-osservazioni come segue
8<
:
x_ ((t); t) = A(x(t); (t); t) + B!(t); t 2 R+
x((0); 0) = x} + 0;
z = z(x((t); t); (t); t)
1
dove A e l'operatore del modello e il termine B! rappresenta l'errore di modello, ovvero
l'insieme dei contributi dei processi non considerati nella formulazione del modello.
Nel nostro caso, l'osservazione e una misura della massa totale dei polimeri. Essa ci da
un'idea su quale fenomeno tra aggregazione e frammentazione sia dominante nel corso
dell'esperimento. Si considerano, tra le componeti di , i coecienti cinetici legati a
tali reazioni.
Si presentano, in seguito, due metodi di assimilazione dati. Tali metodi si occupano
di determinare la migliore stima del vettore .
Il primo metodo e il Metodo Variazionale, nel quale si utilizzano algoritmi di minimizzazzione
per cercare il minimo di un dato funzionale, J(). Tale minimo viene
raggiunto, per costruzione, dai valori di  tali che l'osservazione generata dalla funzione
x((t); t) sia una buona approssimazione di z(t). Tale metodo costruisce iterativamente
una successione minimizzante per J, indicata con fngn0. Per ogni termine
della successione, viene calcolata la soluzione x(n(t); t), per ogni t appartentente alla
nestra d'osservazione. A partire da questa, viene generata un'osservazione che viene
confrontata con i valori della misura empirica. L'algoritmo si conclude quando l'esito
di tale confronto soddisfa dei criteri ssati.
Il secondo metodo e un Metodo di Filtraggio. In particolare, viene utilizzato il Filtro
di Kalman Esteso, dove il termine \esteso" deriva dal fatto che si considera un metodo
ispirato dal Filtro di Kalman ed esteso al caso di sistemi nonlineari. Tale metodo calcola,
per ogni tempo ssato t, uno stimatore ^x(t) del valore x(t). Tale stima e svolta in
due passi. Nel primo si calcola un predizione, grazie al modello, e nel secondo si calcola
una correzione, che modica la predizione utilizzando le informazioni dell'osservazione,
ovvero z(t). Quindi, la soluzione ^x, restituita dall'algoritmo, partendo da un dato valore
iniziale, corregge la sua traiettoria nel tempo no a ritrovare la traiettoria di x. Nel
caso di modello lineare le due traiettorie coincidono alla ne della nestra temporale
di osservazione, invece, nel caso non-lineare non ci sono tali garanzie.
In questo lavoro, sono inoltre presentate alcune simulazioni numeriche. Esse sono
state eseguite a partire da dati sintetici, generati grazie al modello diretto e sulla base
delle osservazioni reali. I due metodi di assimilazione dati, sono stati implementati a
partire dalle funzioni della Biblioteca Matlab VerdandInMatlab sviluppata dal team
dell Inria, M9DISIM.