ETD

• curve algebriche singolari
• fasci senza torsione di rango 1
• Jacobiana compattificata

In questo lavoro di tesi si affronta il concetto di Jacobiana associata ad una curva X partendo dal caso classico di curve lisce e estendendolo al caso di curve singolari.
Per una curva liscia X si considera il gruppo Pic^0(X) delle classi di isomorfismo di fasci invertibili di grado 0 su X che risulta essere isomorfo ad una varietà abeliana J(X) chiamata la Jacobiana di X.
Se X è una curva proiettiva integrale singolare, si può dare una struttura di varietà a Pic^0(X), che viene chiamata la Jacobiana generalizzata di X. Si vede che la Jacobiana generalizzata è una estensione della Jacobiana della normalizzazione X^ν per un gruppo algebrico affine che dipende dalle singolarità di X e, quindi, non è una varietà completa. Si vede nel dettaglio l'esempio della Jacobiana generalizzata di una curva razionale con un nodo.
Si vede poi la costruzione di una possibile compattificazione della Jacobiana generalizzata, ottenuta considerando fasci senza torsione di rango 1. Sotto l'ipotesi Gorenstein si costruisce una generalizzazione della classica mappa di Abel, arrivando a descrivere la Jacobiana compattificata.
Si considera l'esempio della curva razionale con un nodo; in contrasto, si vede che se la curva X ha singolarità con dimensione di embedding maggiore o uguale a 3, la Jacobiana compattificata è riducibile, e quindi ha più componenti della Jacobiana generalizzata.