• cryptography
• elliptic curve
• Hesse pencil
• Hessian
• Hessian graph
• Lattès map

[italiano]
Questa tesi si colloca nel campo della geometria algebrica e si concentra sullo studio della trasformazione hessiana sul Hesse pencil generalizzato, con particolare attenzione alle sue proprietà dinamiche e ai grafi funzionali associati. In parallelo ai risultati esistenti, viene analizzato anche il comportamento della trasformazione come mappa di Lattès, evidenziando le connessioni tra queste due prospettive.

La prima parte della tesi fornisce le basi necessarie. Vengono rivisti i preliminari generali sulle curve ellittiche, incluse alcune delle loro proprietà fondamentali, e introdotte le trasformazioni hessiane \( \mathrm{H} \) e \( \Lambda \): in particolare, \( \mathrm{H} \) agisce sull'insieme dei \( j \)-invarianti mappando il \( j \)-invariante di una curva ellittica nel \( j \)-invariante della sua Hessiana, mentre \( \Lambda \) compie la stessa azione sugli elementi dell'Hesse pencil. Entrambe le trasformazioni sono state dimostrate essere mappe di Lattès su \( \mathbb{C} \), ponendo le basi per una loro interpretazione dinamica. Successivamente, queste trasformazioni sono state estese a intere famiglie \( \{\Lambda_\kappa\} \) e \( \{\mathrm{H}_\kappa\} \), di cui \( \Lambda \) e \( \mathrm{H} \) rappresentano casi specifici. È stato dimostrato che queste famiglie sono correlate e che tutte le loro mappe sono mappe di Lattès su qualsiasi campo algebricamente chiuso, gettando luce sulla loro interpretazione dinamica.

Abbiamo generalizzato l'Hesse pencil considerando curve in forma corta di Weierstrass e studiando la trasformazione corrispondente \( \Lambda_\kappa \). Il contributo principale di questa tesi risiede nell'estensione di \( \Lambda \) a questo pennino generalizzato. È stato dimostrato che questa generalizzazione si allinea con il quadro classico. In particolare, il caso \( j = 0 \) è stato completamente compreso su campi algebricamente chiusi, poiché la trasformazione hessiana sul pennino generalizzato indotta da una curva in forma di Weierstrass corta con \( j \)-invariante \( j = 0 \) è direttamente collegata a \( \Lambda \). Per \( j = 1728 \), l'analisi è stata limitata a \( \mathbb{C} \), dove è stato studiato il ritratto post-critico della trasformazione. Per i casi con \(j \neq 0, 1728\), congetturiamo che la trasformazione rimanga una mappa di Lattès su \( \mathbb{C} \) e che il ritratto post-critico della trasformazione sia la stessa trovata nei due casi dimostrati. Questa congettura è supportata da sperimentazioni numeriche condotte in SageMath.

Infine, ci siamo concentrati sui grafi funzionali associati alle mappe \(\mathrm{H}_\kappa\) e \(\Lambda_\kappa\), con particolare enfasi sui grafi hessiani su campi finiti. Questi grafi sono stati caratterizzati in dettaglio, con particolare attenzione ai componenti connessi contenenti \( j \)-invarianti supersingolari. Sulla base di questi risultati, in questa tesi proponiamo due algoritmi per calcolare l'iterazione \( n \)-esima di \( \mathrm{H} \) e per determinare se due \( j \)-invarianti appartengano alla stessa componente connessa del grafo hessiano corrispondente. Inoltre, viene fornita un'implementazione di questi algoritmi in SageMath.

[english]
This thesis falls within the field of algebraic geometry and focuses on the study of the Hessian transformation on the generalized Hesse pencil, with particular attention to its dynamical properties and associated functional graphs. In parallel with existing results, we also investigate its behavior as a Lattès map, highlighting the connections between these two perspectives.

The first part of the thesis provides the necessary background. We review general preliminaries on elliptic curves, including some of their key properties, and introduce the Hessian transformations \( \mathrm{H} \) and \( \Lambda \): specifically, \( \mathrm{H} \) acts on the set of \( j \)-invariants by mapping the \( j \)-invariant of an elliptic curve to the \( j \)-invariant of its Hessian, while \( \Lambda \) performs the same action on the elements of the Hesse pencil. Both transformations were shown to be Lattès maps over \(\mathbb{C} \), laying the foundation for their dynamical interpretation. These transformations were then extended to entire families \( \{\Lambda_\kappa\} \) and \( \{\mathrm{H}_\kappa\} \), of which \( \Lambda \) and \( \mathrm{H} \) were specific cases. It was shown that those families were related and all of their maps were Lattès maps over any algebraically closed field, which shed light on their dynamical interpretation.

We generalize the Hesse pencil by considering curves in short Weierstrass form and studying the corresponding transformation \( \Lambda_\kappa \). The core contribution of this thesis lies in extending \( \Lambda \) to this generalized pencil. It is shown that this generalization aligns with the classical framework. Specifically, the case \( j = 0 \) is fully understood over algebraically closed fields, as the Hessian transformation on the generalized pencil induced by a short Weierstrass curve with \(j\)-invariant \( j = 0 \) is directly related to \( \Lambda \). For \( j = 1728 \), the analysis is restricted to \( \mathbb{C} \), where the post-critical portrait of the transformation is studied. For cases with \(j \neq 0, 1728\), it is conjectured that the transformation remains a Lattès map over \( \mathbb{C} \) and that the post-critical portrait of the transformation is the same as in the two proven cases. This conjecture is supported by numerical experiments conducted using SageMath.

Finally, we focus on the functional graphs associated with the maps \(\mathrm{H}_\kappa\) and \(\Lambda_\kappa\), with a particular emphasis on Hessian graphs over finite fields. These graphs were characterized in detail, with special attention to connected components containing supersingular \( j \)-invariants. Building on these results, in this thesis we propose two algorithms to compute the \( n \)-th iterate of \( \mathrm{H} \) and to determine whether two \( j \)-invariants belong to the same connected component of the corresponding Hessian graph. Additionally, a SageMath implementation of these algorithms is provided.