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Questa tesi esplora la formulazione, l'analisi e i possibili miglioramenti del modello SIRCD, un quadro matematico progettato per simulare la diffusione delle malattie infettive sia temporalmente che geograficamente. Lo studio si propone di costruire un modello a equazioni differenziali che rappresenti accuratamente le dinamiche delle malattie trasmissibili, tenendo conto di fattori come campagne vaccinali, misure restrittive e comportamenti variabili della popolazione.
Il primo capitolo offre un'introduzione dettagliata al modello SIRCD, descrivendone i compartimenti—Suscettibili ("S"), Infetti ("I"), Guariti ("R"), Portatori ("C") e Deceduti ("D")—e i parametri e le variabili associati. Vengono introdotti concetti matematici chiave e nozioni fondamentali, gettando le basi per le analisi successive. Si conduce un esame qualitativo per identificare i punti di equilibrio e valutarne la stabilità. Questa analisi è cruciale per comprendere il comportamento del modello in diversi scenari e garantire che le sue soluzioni rimangano positive nel tempo.
Il capitolo estende inoltre la struttura base del modello SIRCD introducendo modifiche per catturare le complessità del mondo reale. Queste includono l'incorporazione di campagne vaccinali, dinamiche della popolazione strutturate per età e parametri dipendenti dal tempo. Tali miglioramenti aumentano l'adattabilità del modello, permettendogli di simulare scenari in modo più accurato e affrontare sfide sanitarie diversificate.
Il Capitolo 2 introduce un fattore di trasporto per tenere conto della diffusione geografica delle malattie infettive. Questa aggiunta consente al modello di simulare come le malattie si propagano in diverse regioni, incorporando dinamiche spaziali nell'analisi.
Un risultato chiave di questo capitolo è la dimostrazione dell'esistenza globale e unicità della soluzione sotto l'assunzione di dati iniziali molto piccoli. Questo teorema rappresenta un contributo teorico significativo, garantendo che le soluzioni del modello siano matematicamente ben poste e affidabili. Questa analisi si concentra sul modello SIRCD base senza la vaccinazione, evidenziandone le caratteristiche fondamentali e fornendo una solida base per ulteriori estensioni.
Il terzo capitolo si concentra sulle applicazioni pratiche, in particolare sulla modellizzazione dell'epidemia di COVID-19 in Italia. È stato sviluppato un algoritmo originale per stimare i parametri necessari al modello, riflettendo i dati del mondo reale e migliorandone l'accuratezza predittiva. Confrontando i risultati del modello con i dati reali dell'epidemia, lo studio ne valida l'efficacia e identifica aree di miglioramento.
In questo capitolo vengono utilizzate estensivamente rappresentazioni grafiche per fornire una comprensione intuitiva dell'evoluzione dell'epidemia. Queste visualizzazioni dimostrano la capacità del modello di catturare dinamiche complesse, come i picchi di infezione, l'impatto delle misure di intervento e i cambiamenti temporali nella diffusione della malattia.
L'Appendice A approfondisce le basi matematiche che sottendono la tesi. Fornisce una panoramica della teoria delle Equazioni Differenziali Ordinarie (ODE), inclusi risultati chiave come il teorema di esistenza e unicità, i teoremi di estensione e confronto, l'analisi della stabilità tramite i metodi di Lyapunov e i teoremi del punto fisso. Questi strumenti sono essenziali per gli aspetti teorici e pratici dello studio.
L'Appendice B si concentra sul numero di riproduzione ("R_t"), una metrica critica in epidemiologia. Spiega la sua natura dipendente dal tempo, le varie interpretazioni e la sua importanza nella valutazione della diffusione delle malattie infettive. Questa sezione evidenzia anche diversi approcci computazionali al calcolo di Rt , incluso l'algoritmo originale proposto nella tesi.
Questa tesi collega l'analisi teorica alle applicazioni pratiche, offrendo uno studio completo del modello SIRCD. L'analisi qualitativa, le estensioni geografiche e la validazione pratica forniscono una comprensione olistica delle dinamiche delle malattie infettive. Tuttavia, lo studio riconosce alcune limitazioni, come l'incapacità di prevedere i dati reali con completa accuratezza a causa di semplificazioni e vincoli sui dati. Fattori come i casi non segnalati, le misure di intervento in evoluzione e i cambiamenti comportamentali sono difficili da incorporare pienamente.
L'algoritmo introdotto nel Capitolo 3 per la stima dei parametri è un contributo originale e uno strumento promettente per perfezionare il modello. Tuttavia, può essere ulteriormente migliorato per aumentare l'accuratezza e l'applicabilità. Allo stesso modo, la struttura di base del modello potrebbe essere ampliata aggiungendo compartimenti per individui ospedalizzati, reinfezioni o altri fattori epidemiologici.
Il quadro sviluppato in questa tesi apre diverse strade per la ricerca futura:
Raffinamenti del modello: L'introduzione di compartimenti aggiuntivi per fattori come ospedalizzazione, reinfezione e perdita di immunità migliorerebbe il realismo del modello.
Elementi stocastici: L'integrazione di variazioni stocastiche nel modello SIRCD potrebbe fornire approfondimenti sul ruolo della casualità nella trasmissione e progressione delle malattie.
Integrazione con il machine learning: L'uso di tecniche di apprendimento automatico per la stima dei parametri potrebbe migliorare l'accuratezza predittiva e l'adattabilità del modello.
Accoppiamento geografico: L'integrazione del modello con dati spaziali in tempo reale potrebbe offrire una comprensione dinamica e geograficamente accurata della diffusione delle malattie.
Applicazioni più ampie: Applicare il modello SIRCD ad altre malattie infettive ne testerebbe l'adattabilità e ne evidenzierebbe il potenziale come strumento epidemiologico universale.
Dinamiche vaccinali: Estendere il modello per esplorare le fasi dell'epidemia influenzate dalle campagne vaccinali, inclusi i dati reali sulle popolazioni vaccinate, fornirebbe preziose intuizioni sulle strategie di controllo delle malattie a lungo termine.
Questa tesi presenta un quadro robusto e versatile per la modellizzazione della diffusione delle malattie infettive. Combinando rigore teorico e applicazioni pratiche, contribuisce al campo dell'epidemiologia matematica e offre una solida base per studi futuri. Nonostante le sue limitazioni, il lavoro dimostra il potere dei modelli a equazioni differenziali nel catturare le complessità delle dinamiche delle malattie e sottolinea il potenziale per ulteriori progressi. Affrontando le sfide identificate e perseguendo le direzioni suggerite, questa ricerca può migliorare significativamente la preparazione e la risposta della sanità pubblica alle epidemie di malattie infettive.

This dissertation explores the formulation, analysis, and potential enhancements of the SIRCD model, a mathematical framework designed to simulate the spread of infectious diseases both temporally and geographically. The study aims to construct a differential equation model that accurately represents the dynamics of communicable diseases, accounting for factors such as vaccination campaigns, restrictive measures, and varying population behaviors.
The first chapter provides a detailed introduction to the SIRCD model, describing its compartments—Susceptible (“S”), Infected (“I”), Recovered (“R”), Carriers (“C”), and Deceased (“D”)—and the associated parameters and variables. Key mathematical concepts and fundamental notions are established, setting the stage for the subsequent analysis. A qualitative examination is conducted to identify equilibrium points and assess their stability. This analysis is critical for understanding the model’s behavior under various scenarios and ensuring that its solutions remain positive over time.
The chapter also extends the basic SIRCD framework by introducing modifications to capture real-world complexities. These include the incorporation of vaccination campaigns, age-structured population dynamics, and time-dependent parameters. Such enhancements increase the model’s adaptability, allowing it to simulate scenarios more accurately and address diverse public health challenges.
Chapter 2 introduces a transport factor to account for the geographic spread of infectious diseases. This addition enables the model to simulate how diseases propagate across different regions, incorporating spatial dynamics into the analysis.
A key achievement of this chapter is the proof of the global existence and uniqueness of the solution under the assumption of small initial data. This theorem represents a significant theoretical contribution, ensuring that the model’s solutions are mathematically well-posed and reliable. Importantly, this analysis focuses on the basic SIRCD model without vaccination, highlighting its foundational characteristics and providing a robust baseline for further extensions.
The third chapter shifts focus to practical applications, specifically modeling the COVID-19 epidemic in Italy. An original algorithm was developed to estimate the parameters required for the model, reflecting real-world data and enhancing its predictive accuracy. By comparing the model’s output with actual epidemic data, the study validates its effectiveness and identifies areas for improvement.
Graphical representations are used extensively in this chapter to provide an intuitive understanding of the epidemic’s progression. These visualizations demonstrate the model’s capability to capture complex dynamics, such as infection peaks, the impact of interventions, and temporal changes in disease spread.
Appendix A delves into the mathematical foundations underpinning the dissertation. It provides an overview of the theory of Ordinary Differential Equations (ODEs), including key results like the existence and uniqueness theorem, extension and comparison theorems, stability analysis via Lyapunov methods, and fixed-point theorems. These tools are essential for both the theoretical and practical aspects of the study.
Appendix B focuses on the reproduction number (“R_t”), a critical metric in epidemiology. It explains its time-dependent nature, various interpretations, and its significance in assessing the spread of infectious diseases. This section also highlights different computational approaches, including the original algorithm proposed in the thesis.
This dissertation bridges theoretical analysis and real-world application, offering a comprehensive study of the SIRCD model. The qualitative analysis, geographic extensions, and practical validation provide a holistic understanding of infectious disease dynamics. However, the study acknowledges certain limitations, such as the inability to predict real-world data with complete accuracy due to simplifications and data constraints. Factors like unreported cases, evolving intervention measures, and behavioral changes are challenging to incorporate fully.
The algorithm introduced in Chapter 3 for parameter estimation is an original contribution and a promising tool for refining the model. Nevertheless, it can be further enhanced to improve accuracy and applicability. Similarly, the model’s basic structure could be expanded by adding compartments for hospitalized individuals, reinfections, or other epidemiological factors.
The framework developed in this dissertation opens several avenues for future research:
Model Refinements: Introducing additional compartments to account for factors like hospitalization, reinfection, and immunity waning would enhance the model’s realism.
Stochastic Elements: Incorporating stochastic variations into the SIRCD model could provide insights into the role of randomness in disease transmission and progression.
Machine Learning Integration: Leveraging machine learning techniques for parameter estimation could improve predictive accuracy and model adaptability.
Geographic Coupling: Integrating real-time spatial data with the model could yield a dynamic and geographically accurate understanding of disease spread.
Broader Applications: Applying the SIRCD model to other infectious diseases would test its adaptability and highlight its potential as a universal epidemiological tool.
Vaccination Dynamics: Extending the model to explore phases of the epidemic influenced by vaccination campaigns, including real-world data on vaccinated populations, would provide valuable insights into long-term disease control strategies.
This dissertation presents a robust and versatile framework for modeling the spread of infectious diseases. By combining theoretical rigor with practical applications, it contributes to the field of mathematical epidemiology and offers a solid foundation for future studies. Despite its limitations, the work demonstrates the power of differential equation models in capturing the complexities of disease dynamics and underscores the potential for further advancements. By addressing the identified challenges and pursuing the suggested directions, this research can significantly enhance public health preparedness and response to infectious disease outbreaks.