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Tesi etd-10132009-163007


Thesis type
Tesi di laurea specialistica
Author
WEBER, MARKO HANS
URN
etd-10132009-163007
Title
Il modello LIBOR per i tassi di interesse: sviluppi recenti
Struttura
SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI
Corso di studi
MATEMATICA
Commissione
relatore Prof. Pratelli, Maurizio
Parole chiave
  • modello SABR
  • tasso di interesse
  • modello Libor
Data inizio appello
30/10/2009;
Consultabilità
completa
Riassunto analitico
Pietra angolare per la Finanza Matematica è la celebre formula di Black&Scholes per il calcolo del prezzo di un'opzione call. Esiste una formula analoga, nota in letteratura come formula "Black 76", per la valutazione dei caplet. Per due decenni tale formula è stata adoperata sul mercato, nonostante l'assenza di una rigorosa giustificazione matematica.
Nella tesi vengono presentati i principali modelli stocastici per il tasso di interesse: dai modelli per il tasso a breve, sorti verso la fine degli anni Settanta, fino ai più recenti sviluppi relativi al Modello LIBOR. La presentazione sistematica di quest'ultimo modello costituisce il fulcro della tesi.
Il Modello LIBOR venne introdotto dagli articoli di Miltersen et al. (1997), Brace et al. (1997) e Jamshidian (1997). Con esso la formula "Black 76" trova una rigorosa giustificazione matematica. Questo non basta però a rendere il Modello LIBOR completamente soddisfacente. L'analisi dei dati provenienti dal mercato mostra, infatti, che strike diversi implicano volatilità diverse nella formula "Black 76". In altri termini,
se confrontiamo i prezzi di mercato dei cap con i prezzi teorici derivanti dalla formula "Black 76", si osserva che la scelta delle volatilità dei tassi forward che rendono questi due prezzi identici (dette volatilità implicite) dipende anche dal valore dello strike, diversamente da quanto dovrebbe risultare dal Modello LIBOR nella sua definizione classica. Tale fenomeno è detto fenomeno dello Smile.
Per questo, nell'ultimo decennio, sono state proposte numerose estensioni a tale modello. I modelli più convincenti (oltre che matematicamente più stimolanti) sono i modelli a volalitità stocastica. Nella tesi presento il Modello di Wu e Zhang e il Modello di Mercurio e Morini; questi modelli si fondano su analoghi modelli già noti nell'ambito dell'equity: il Modello di Heston e il Modello SABR. Essi consentono di valutare in modo piuttosto semplice, pur con qualche approssimazione, i derivati più importanti del tasso di interesse, ossia i cap e gli swaption.
Inoltre, con un'opportuna scelta dei parametri sono in grado di cogliere adeguatamente il fenomeno dello Smile.
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