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Tesi etd-06152010-103019


Tipo di tesi
Tesi di laurea specialistica
Autore
ARIZZI, MARCO
Indirizzo email
arizzi@mail.dm.unipi.it
URN
etd-06152010-103019
Titolo
Dinamica di applicazioni olomorfe tangenti all'identita'
Struttura
SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI
Corso di studi
MATEMATICA
Commissione
relatore Abate, Marco
Parole chiave
  • dinamica olomorfa
  • holomorphic dynamics
  • germi tangenti all'identità
  • germs tangent to identity
Data inizio appello
16/07/2010;
Disponibilità
completa
Riassunto analitico
La dinamica dei germi di $(\mathbb C^p, 0)$ in s\'e tangenti all'identit\`a fa parte di un ampio campo di ricerca, che \`e la teoria dei sistemi dinamici discreti locali. Uno dei problemi di cui si occupa \`e lo studio del comportamento delle orbite dei punti, che si trovano negli intorni dei punti fissi.

La teoria dei sistemi dinamici discreti olomorfi locali in una variabile \`e nata pi\`u o meno contemporaneamente al resto della teoria dei sistemi dinamici (i primi risultati sono dovuti a K\oe nigs, del 1884, e Poincar\`e, del 1890) e si \`e sviluppata parallelamente al resto della teoria dei sistemi dinamici olomorfi discreti. In particolare, i principali risultati in una variabile sono quelli ottenuti da Fatou, Julia e altri negli anni '20, e quelli ottenuti da \'Ecalle, Yoccoz e altri negli anni '80. Invece, la teoria dei sistemi dinamici discreti olomorfi locali in pi\`u variabili complesse, \`e nata essenzialmente negli anni '80 con i lavori di \'Ecalle.

Lo studio dei sistemi dinamici discreti olomorfi locali unidimensionali tangenti all'identit\`a di molteplicit\`a $k+1\geq 2$ \`e stato completamente trattato nel Teorema del fiore di Leau-Fatou. Se $f\in \rm{End}(\mathbb C, 0)$ \`e un tale sistema dinamico, allora in un intorno dell'origine \`e possibile individuare $k$ direzioni e $k$ aperti semplicemente connessi $f$-invarianti, detti petali, in cui la dinamica \`e attrattiva.

Sono dovuti ad \'Ecalle ed Hakim i primi lavori di generalizzazione del teorema di Leau-Fatou al caso multidimensionale, in cui i petali vengono sostituiti dalle curve paraboliche. Il principale risultato che \`e stato dimostrato \`e il seguente:
Teorema 1 [Hakim]. Sia $f\in\rm{End}(\mathbb C^p,0)$ un sistema dinamico olomorfo locale tangente all'identit\`a di ordine $k+1$. Allora per ogni direzione caratteristica non degenere $[v]\in \mathbb C\mathbb P^{p-1}$ esistono almeno $k$ curve paraboliche per $f$ tangenti a $[v]$.

Mentre la dimostrazione di \'Ecalle si basa sulla teoria della risorgenza delle serie divergenti, Hakim ha dato una dimostrazione analitica , costruendo le curve paraboliche come punti fissi di un'opportuna contrazione, su un convesso chiuso di uno spazio di Banach.

Allo stesso modo \`e possibile dimostrare che esistono sottovariet\`a, con l'origine nel bordo, di dimensione strettamente maggiore di $1$, che siano $f$-invarianti e attratte dall'origine. L'esistenza di queste sottovariet\`a dipende dal numero di autovalori con parte reale strettamente positiva di un operatore lineare associato ad una direzione caratteristica. In particolare, se tutti gli autovalori hanno parte reale strettamente positiva, si trova una dominio attratto dall'origine.

Lo scopo della mia tesi \`e quello di generalizzare i risultati di Hakim, per germi tangenti all'identit\`a di qualsiasi molteplicit\`a, usando le stesse tecniche. Inoltre, nell'ultimo capitolo, sono riuscito a dimostrare che l'esistenza di un dominio attrattivo garantisce che tutti gli autovalori abbiano parte reale strettamente positiva. Pi\`u precisamente:

Teorema 2. Sia $f$ un germe di $(\mathbb C^p,0)$ in s\'e tangente all'identit\`a e sia $[v]$ una direzione caratteristica non degenere. Se $[v]$ ammette un bacino d'attrazione $\Omega$, con punti le cui orbite convergono all'origine tangenzialmente a $[v]$, allora tutti i direttori di $[v]$ hanno parte reale strettamente positiva.
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