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Tesi etd-05022006-183051


Thesis type
Tesi di laurea specialistica
Author
Ascolani, Gianluca
URN
etd-05022006-183051
Title
Sistemi stocastici di rinnovo e risposta lineare: oltre la teoria di Green Kubo
Struttura
SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI
Corso di studi
SCIENZE FISICHE
Commissione
relatore Grigolini, Paolo
Parole chiave
  • risposta lineare
Data inizio appello
26/05/2006;
Consultabilità
completa
Riassunto analitico
Il problema della risposta dei sistemi dinamici alle perturbazioni esterne e&#39; un argomento di<br>particolare interesse nel campo della termodinamica statistica. Negli ultimi anni l&#39;attenzione si<br>e&#39; spostata verso la risposta alle perturbazioni dei sistemi dinamici che si discostano dalle<br>condizioni ordinarie della termodinamica statistica.<br>In questa tesi si analizzano i sistemi stocastici di rinnovo la cui funzione di distribuzione dei<br>tempi di attesa non e&#39; data solo da una legge poissoniana, ma anche da una legge a potenza inversa.<br>Se tali sistemi vengono perturbati, nel limite in cui tale perturbazione sia piccola, e&#39; possibile<br>fare un&#39;approssimazione lineare. Ne segue che, se si parte da un&#39;equazione di Liouville, si arriva<br>alla relazione di Green-Kubo che lega il valore medio di un&#39;osservabile, su di un insieme di Gibbs,<br>alla convoluzione temporale tra la funzione di correlazione all&#39;equilibrio, relativa all&#39;osservabile<br>stessa, e la perturbazione esterna. <br>Il medesimo risultato si ottiene, senza fare alcuna approssimazione, partendo dall&#39;equazione maestra <br>markoffiana. In questo caso la funzione di correlazione all&#39;equilibrio e&#39; una legge di decadimento <br>esponenziale.<br>Queste due situazioni corrispondo alla convenzionale legge di Green Kubo.<br>Per i sistemi di rinnovo con distribuzioni di tempi di attesa con legge a potenza inversa, in cui <br>il tempo medio di attesa non diverga, e&#39; possibile ricavare la funzione di correlazione di equilbrio.<br>Nel caso in cui il momento secondo della distribuzione dei tempi di attesa diverge, la funzione di <br>correlazione e&#39; divergente e l&#39;applicazione della teoria di Green-Kubo, nel caso in cui la <br>perturbazione e&#39; a scalino, cioe&#39; il campo perturbante viene applicato istantaneamente all&#39;origine del<br>tempo, produrrebbe una corrente infinita.<br>Si tratta quindi di una condizione non fisica che richiede l&#39;uso di un nuovo tipo di trattamento.<br>Per costruire questa nuova teoria partiamo da una descrizione del camminatore casuale nel tempo <br>continuo ossia si descrive l&#39;esperimento, non in funzione della correlazione all&#39;equilibrio, bensi&#39; <br>tramite la funzione di distribuzione dei tempi di attesa, che da un punto di vista sperimentale, e&#39; <br>direttamente osservabile. <br>Successivamente, per introdurre il bias dovuto alla perturbazione, vengono illustrati due modelli: il <br>fenomenologico e il dinamico.<br>Nel modello fenomenologico la perturbazione esterna non agisce sulla distribuzione dei tempi di attesa,<br>ma influenza la scelta con cui il camminatore casuale si muove verso destra o verso sinistra. Nel modello<br>dinamico, invece, sono le funzioni di distribuzione dei tempi di attesa, relative ai rispettivi stati in <br>cui il camminatore si trova, ad essere modificate dalla perturbazione esterna lasciando equiprobabili <br>le possibilita&#39; di andare<br>a destra o a sinistra.<br>In entrambi i modelli si osserva che la risposta alla perturbazione esterna puo&#39; essere descritta da una <br>relazione simile alla legge di Green-Kubo, dove, pero&#39;, al posto della funzione di correlazione, compare<br>la suscettibilita&#39; che dipende sia dal tempo in cui si inizia a fare l&#39;osservazione sul sistema sia dal <br>tempo presente; ma solo nel caso poissoniano si ottiene che la suscettibilita&#39; coincide con la funzione <br>di correlazione che dipende, a sua volta, solamente dalla differenza dei due tempi sopra citati.<br>Nel caso non Poissoniano, entra in gioco la proprieta&#39; di invecchiamento dei sistemi di rinnovo che <br>descrive come si evolve la distribuzione dei tempi di attesa, senza che le leggi fisiche che guidano il <br>sistema cambino nel tempo, ossia il caso in cui non si guarda il sistema dall&#39;istante iniziale in cui<br>viene preparato, ma lo si osserva ad un tempo successivo.<br>I risultati relativi alla nuova legge di risposta lineare sono i seguenti.<br>Nel caso in cui la condizione stazionaria e&#39; possibile, otteniamo per entrambi i modelli una <br>suscettibilita&#39;, che coincide non con la funzione di correlazione, ma con la sua derivata temporale. <br>Percio&#39; se si considera la perturbazione a scalino ne segue che asintoticamente la media delle osservabili<br>su di un insieme di Gibbs, nei casi in cui con la legge di Green-Kubo divergevano, ora, secondo la <br>relazione basata sulla suscettibilita&#39;, hanno valori finiti.<br>Nel caso in cui l&#39;equilibrio non e&#39; mai possibile, la perturbazione a scalino porta di nuovo ad una <br>corrente finita, ma con due valori distinti. <br>Tale differenza, sotto l&#39;ipotesi di approssimazione lineare, finisce per annullarsi nel limite in cui <br>l&#39;indice della potenza inversa della distribuzione dei tempi tende all&#39;infinito.<br>Nel caso in cui l&#39;equiilibrio non e&#39; ammesso, il sistema, sottoposto ad una perturbazione oscillante,<br>mostra nel caso dinamico una forma<br>di risonanza che si affievolisce nel tempo, mentre nel caso fenomenologico predomina una risposta <br>indipendente dalla frequenza del segnale che, a meno di condizioni opportune, impedisce di vedere ogni <br>forma di risonanza.
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