• equazione del trasporto
• equazione di continuità
• mixing
• PDE

La mia tesi magistrale è divisa in due parti: nella prima mostro il risultato ottenuto da G. Crippa e C. De Lellis, che introduce un nuovo punto di vista nello studio della buona positura del problema di Cauchy per l’equazione di trasporto e per l’equazione di continuità nel caso in cui il campo vettoriale abbia poca regolarità rispetto alle variabili spaziali. Nella seconda parte della tesi mostro degli esempi di mixing ottimale: una soluzione u(t, ·) per l'equazione può convergere a 0 debolmente, pur preservando le norme Lp. Infatti, l’annullarsi della norma di Sobolev omogenea negativa H^−1 di u(t, ·) è equivalente alla convergenza di u(t, ·) a 0 debolmente in L2. Un flusso mixa in modo ottimale se raggiunge il più grande tasso di decadimento nel tempo per la norma H^ −1 di u(t, ·).