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Tesi etd-02122017-152127


Thesis type
Tesi di laurea magistrale
Author
FINOCCHIO, GIANLUCA
URN
etd-02122017-152127
Title
Un approccio stocastico allo studio della dinamica limite di sistemi di particelle moderatamente interagenti
Struttura
MATEMATICA
Corso di studi
MATEMATICA
Commissione
relatore Prof. Flandoli, Franco
Parole chiave
  • FKPP.
  • random time change
  • counting processes
  • processi di conteggio
Data inizio appello
10/03/2017;
Consultabilità
completa
Riassunto analitico
In questo lavoro di tesi descriviamo i modelli per sistemi di particelle interagenti discussi da Karl Oelschläger in "On the Derivation of Reaction-Diffusion Equations as Limit Dynamics of Systems of Moderately Interacting Stochastic Processes", analizziamo le tecniche adoperate per la derivazione della dinamica limite e ne verifichiamo l'applicabilità in due esempi particolari.

I modelli trattati riguardano una popolazione di N individui suddivisa in un numero finito di specie (o sottopopolazioni). Ogni individuo può muoversi nello spazio oppure nascere, mutare e morire come conseguenza dell'interazione con i suoi vicini. Questa interazione è di "tipo moderato", cioè dipende da un intorno macroscopicamente piccolo (di volume infinitesimo per N che tende a infinito) e microscopicamente grande (contiene un numero infinito di particelle al limite).

Le proprietà collettive degli individui vengono studiate grazie all'introduzione dei processi empirici della popolazione. Integrando questi processi (che risultano misure aleatoria) con funzioni test regolari, è possibile applicare la decomposizione di Ito ed ottenere la formulazione debole delle equazioni differenziale stocastiche risolte dai processi empirici. Con un ragionamento euristico si può esibire inoltre una densità candidata limite, per N che tende a infinito.

Per studiare la convergenza del processo empirico si introducono sue versioni regolari, ottenute tramite convoluzione con densità di probabilità.
A partire da stime di tipo energia si può dedurre un risultato che garantisca la convergenza di una versione regolare alla densità candidata limite in norma quadratica.
Come corollario si dimostra la convergenza debole* del processo empirico alla densità candidata limite sullo spazio delle misure positive finite.

I casi particolari studiati sono il modello con sola interazione locale e quello puramente proliferativo. In entrambi i casi si suppone che la popolazione sia costituita da una sola specie. Sono analizzati i dettagli della costruzione dei modelli e delle stime per la dimostrazione dei risultati di convergenza.
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