• misure di Young
• quasiconvesità
• two-well problem

La morfologia di un cristallo può presentare diverse fasi che possono essere
modificate con cambiamenti del suo stato meccanico o termico. In particolare,
molti cristalli possono essere deformati in modo da far coesistere al loro interno
tante fasi diverse. Il nostro scopo sarà studiare le strutture dei materiali che, se
sottoposti a forze o a variazioni di temperatura, hanno la caratteristica di variare
l’esistenza, la posizione e l’orientazione di una fase. Più precisamente, il lavoro
qui esposto rappresenta un’interpretazione matematica delle leghe a memoria di
forma (in inglese: Shape Memory Alloys).
Recenti studi, basati su considerazioni di tipo energetico, sulle microstrutture
che compaiono nei cristalli vicini alla transizione di fase hanno utilizzato le misure
di Young come metodo per descrivere tali strutture.

In questa tesi, dopo una prima parte introduttiva in cui viene esposto il problema,
è trattato il caso a un pozzo. In questa situazione si dimostra in modo semplice
che non si possono formare delle microstrutture.
Nella seconda parte della presente sono descritte, in modo accessibile a un lettore
che possieda le conoscenze di base dell’Analisi Funzionale classica, le misure
di Young. Queste sono utilizzate per descrivere i limiti deboli delle successioni
da cui derivano, ma anche come strumento tecnico per interpretare alcune questioni
fondamentali del calcolo delle variazioni, in particolare nelle questioni di
semicontinuità inferiore.
Prima di parlare specificatamente delle misure di Young generate da successioni
di gradienti (che sono le misure strettamente collegate allo studio dei cristalli
elastici), è presente un capitolo che introduce la nozione di funzione quasiconvessa.
Questo capitolo ci permette di caratterizzare le misure di Young gradiente
seguendo l’approccio di Kinderleherer e Pedregal.
In un secondo capitolo sulle misure di Young è esposta la relazione di dualità
che c’è tra le funzioni quasiconvesse e le misure di Young generate da successioni
di gradienti.
Questo strumento, negli ultimi capitoli di questa tesi, viene applicato allo
studio del problema a due pozzi (in inglese: Two-Well Problem).
Infine viene presentato un caso semplice del problema a tre pozzi per cui le
ipotesi permettono di ricondursi al problema a due pozzi.