• lemma di sollevamento di Hensel
• polinomi diagonali
• varietà algebriche

La stima del numero di punti razionali di una varietà costituisce un problema classico in teoria dei numeri. Nel caso di varietà su campi finiti, un risultato di fondamentale importanza è rappresentato dalla stima pubblicata nel 1954 in un articolo di A. Weil e S. Lang. Essa rappresenta sostanzialmente la migliore stima che si può ottenere in generale.

Nel corso degli anni sono state riproposte diverse dimostrazioni ed estensioni, per esempio nei famosi articoli di P. Deligne del 1974 e 1980. Lo spunto per questo elaborato è giunto da un lavoro in prepubblicazione di A. Bodin, P. Dèbes e S. Najib del 2022, dove vengono presentate, tramite metodi elementari, stime dal basso meno raffinate.

Nel primo capitolo presentiamo alcune nozioni preliminari: definiamo vari tipi di varietà algebriche e fissiamo la relativa notazione.

Nel secondo capitolo osserviamo quindi come una stima "euristica" per il numero di punti razionali di una ipersuperficie in generale fallisca. Come conseguenza presentiamo il risultato di Zippel-Schwartz, che fornisce una stima dall'alto per il numero di punti razionali di una generica ipersuperficie V(f) su un campo finito. Questa stima dipende unicamente dal grado di f, dal numero delle sue variabili e dal campo finito considerato.

Successivamente osserviamo come tentativi di dimostrare stime più avanzate, come quelle contenute nell'articolo sopracitato, difficilmente possono funzionare se ci si prefigge di utilizzare metodi elementari. In particolare definiamo la densità asintotica su N^n, e mostriamo come essa presenti comportamenti anomali in presenza di unioni infinite.

Nel terzo capitolo specializziamo il discorso a ipersupefici relative a particolari polinomi detti "diagonali". In questo contesto introduciamo alcune nozioni riguardanti la teoria dei caratteri sui gruppi abeliani finiti, e definiamo le somme fondamentali di Gauss e Jacobi. Esse ci permettono di fornire una formula esatta per il numero di punti razionali di una ipersuperficie diagonale.

Nel quarto ed ultimo capitolo usiamo i risultati ottenuti per dimostrare alcuni risultati classici. In una prima parte diamo le dimostrazioni delle famose leggi di reciprocità quadratica e cubica. Nella seconda parte uniamo le formule del terzo capitolo con il lemma di sollevamento di Hensel, e proviamo come l'equazione y^2 = x^3 + 7 non abbia soluzioni intere, benché le possegga in ogni anello Z/mZ.