• accoppiamento di Peierls
• accoppiamento luce-materia
• cavità chirale
• condensazione di fotoni
• elettrodinamica quantistica in cavità
• fase di Berry
• grafene
• materiali bidimensionali
• modello di Dicke
• no-go theorems
• paramagnetismo orbitale
• superradianza
• transizione di fase

Questo lavoro di Tesi Magistrale è stato sviluppato nell'ambito del campo di ricerca denominato ``Cavity Quantum Electrodynamics of Quantum Materials''. Si tratta di un recente campo di ricerca che interfaccia la fisica dei materiali quantistici e la fotonica, in cui vengono concepite idee per manipolare gli stati della materia (come la superconduttività o il magnetismo, ad esempio) attraverso le fluttuazioni di un campo elettromagnetico confinato. Tale campo di ricerca sfrutta in maniera decisa la recente possibilità di raggiungere il regime di accoppiamento forte tra la materia (come ad esempio elettroni nei cristalli) e i fotoni.
Più in dettaglio, l'oggetto di questa Tesi di Laurea Magistrale è l'indagine della cosiddetta ``superradianza di equilibrio'', anche chiamata ``condensazione'' di fotoni. Questo stato di equilibrio, che è il prodotto di una transizione di fase quantistica del secondo ordine, fu predetto per la prima volta nel 1973 da K. Hepp e E. H. Lieb e da Y. K. Wang e F. T. Hioe , partendo dal modello di R. H. Dicke. Trascendendo di gran lunga tale modello (che descrive un insieme di sistemi a due livelli che interagisce con un singolo modo del campo elettromagnetico), abbiamo studiato la possibilità di ottenere condensazione di fotoni in un singolo foglio di grafene posto all'interno di una cavità ``chirale''. La cavità chirale ospita due modi non-degeneri del campo elettromagnetico aventi polarizzazioni circolari opposte. In tale cavità dunque la simmetria per inversione temporale risulta rotta. Il campo elettromagnetico viene trattato in maniera quantistica.
Vengono dapprima esposti i fatti sperimentali e teorici salienti, fornendo una panoramica dello stato dell'arte. Si approfondiscono quindi i modelli teorici riguardanti la descrizione del campo elettromagnetico in cavità, dapprima nell'ambito della teoria classica e poi in termini di operatori quantistici attraverso la procedura di quantizzazione canonica. Viene dapprima studiato il caso di una cavità Fabry-Pérot non-chirale, per poi estendere i calcoli ad una cavità chirale girotropica fabbricata mediante specchi ferromagnetici.
Sempre a scopo introduttivo, sono esposte le caratteristiche peculiari del problema di singolo elettrone in un reticolo a nido d’ape (grafene), focalizzandosi sul comportamento delle bande energetiche in funzione dell'impulso cristallino e sui corrispondenti fermioni di Dirac a massa nulla. Una sezione dell'Introduzione discute in dettaglio la teoria della condensazione di fotoni, in un linguaggio fortemente ispirato a quello di Wang e Hioe. La porzione introduttiva legata alla condensazione di fotoni termina con una discussione di alcuni teoremi ``no-go'' di importanza storica e di recenti sviluppi che hanno mostrato come sia possibile aggirare queste restrizioni. Di particolare rilievo per i risultati di questa Tesi è il fatto che il gas di elettroni in un reticolo cristallino 2D cambia carattere magnetico quando il livello di Fermi attraversa un punto sella della struttura a bande. Lontano dal punto sella infatti, il sistema mostra il solito diamagnetismo di Landau. Avvicinandosi al punto sella invece, il sistema di elettroni sviluppa un comportamento magnetico di segno opposto, ovvero un paramagnetismo orbitale (invece che un diamagnetismo).
Si passa quindi ad illustrare i contenuti originali di questo lavoro di Tesi. Ci si concentra dapprima sull'accoppiamento luce-materia per elettroni nel grafene che vengono accoppiati al campo di radiazione della cavità mediante la sostituzione di Peierls (in luogo del solito accoppiamento minimale). Il vantaggio di questa procedura su reticolo è che essa fornisce una descrizione che rispetta l'invarianza di gauge. Viene assunto che il campo di radiazione cambi poco sulla scala reticolare e viene fatto inoltre uso dell’approssimazione di campo medio, fattorizzando gli stati nel prodotto tra stati elettronici e stati del campo elettromagnetico. Nel formalismo di seconda quantizzazione si ricava l’Hamiltoniana del sistema complessivo elettroni-fotoni di cavità chirale nello spazio degli impulsi, proiettando gli operatori fotonici sugli stati coerenti della luce.
Si procede quindi ad un calcolo numerico della struttura a bande (modificata dall'interazione luce-materia) con un codice scritto in linguaggio Python.
La procedura di calcolo non è banale, in quanto l'Hamiltoniana (a seguito della fattorizzazione menzionata sopra) diventa un operatore non-lineare.
I valori di aspettazione dei modi del campo, che sono il ``parametro d'ordine'' per la condensazione di fotoni, devono essere quindi calcolati assieme alla struttura a bande, con un algoritmo che minimizza il valore di aspettazione dell'energia.
Il risultato principale del nostro lavoro è che troviamo un intervallo di valori della densità di elettroni per cui il parametro d'ordine è diverso da zero, e quindi lo stato di equilibrio è caratterizzato da una densità non nulla di fotoni condensati.
Infine, l'analisi si è conclusa ricavando gli esponenti critici della transizione, attraverso l'utilizzo di una relazione di scaling per il profilo del parametro d'ordine in prossimità dei punti critici.
In sintesi questa Tesi pone come obiettivo l'attuazione della condensazione di fotoni, caratterizzando le proprietà della transizione di fase, e chiarisce i presupposti per una realizzazione sperimentale.