• elettrodinamica quantistica in cavità
• grafene
• Path integral per sistemi a molti corpi
• teoria della rinormalizzazione
• teorie efficaci
• transizioni di fase quantistiche

Il controllo delle proprietà della materia è una delle più grandi sfide della fisica. Il campo di ricerca di recente sviluppo, detto “elettrodinamica quantistica di sistemi fortemente correlati in cavità”, indaga la possibilità di modificare le proprietà di un materiale
mediante le fluttuazioni quantistiche di un campo elettromagnetico in un risuonatore ottico, come quello rappresentato da una cavità di Fabry-Pérot (costruita mediante due specchi metallici paralleli). In questo contesto, diversi studi sperimentali e teorici hanno dimostrato la possibilità di modificare il trasporto di carica, oppure quella di ma-
nipolare le interazioni magnetiche o ancora di favorire alcune instabilità piuttosto di altre, ad esempio le onde di densità di carica (CDW), la ferroelettricità e vari tipi
di superconduttività.
In questo lavoro di Tesi viene studiato un sistema fisico rappresentato da un modello di Hubbard esteso su reticolo a nido d’ape, accoppiato alle fluttuazioni quantistiche di vuoto di una cavità di Fabry-Pérot. Ricordiamo al lettore che il reticolo a nido d’ape è caratteristico del grafene, un materiale isolato nel 2004. L’interesse per il modello
Hubbard esteso nasce dal fatto che quest’ultimo costituisce una piattaforma ottimale per esplorare la possibilità di cambiare la fase semimetallica del grafene in una fase isolante, regolando opportunamente le interazioni tra elettroni sulla scala spaziale del
reticolo. Nella Tesi si esaminano gli effetti del campo sulla transizione di fase quantistica semimetallo-isolante caratteristica del modello di Hubbard esteso ad “half filling”,
sondando la possibilità di favorire o sfavorire selettivamente le due instabilità tipiche
del modello. Queste sono l’instabilità SDW (“Spin Density Wave”) e la CDW (“Charge Density Wave”), la prima nel canale di spin, la seconda nel canale di carica. Funzionale a questa indagine, e non meno interessante, è l’innovativa analisi in spazio reale delle interazioni efficaci elettrone-elettrone, mediate dai fotoni virtuali di cavità. Questa è
stata eseguita con una particolare attenzione verso le interazioni alla scala del passo reticolare, enfatizzando la natura dispersiva e multimodale del campo elettromagnetico, spesso ignorata nei lavori teorici del campo.
Entrando più nel dettaglio, l’accoppiamento tra luce e materia è stato descritto tramite l’operatore quantistico che implementa l’invarianza di Gauge nelle teorie su reticolo, noto in fisica della materia condensata come esponenziale di Peierls e in fisica delle alte
energie come operatore di Wilson. Tale operatore è stato trattato in maniera perturbativa interrompendone lo sviluppo al primo ordine nella costante di struttura fine ,tenendo i due contributi tipici dell’interazione radiazione-materia noti come paramagnetico e diamagnetico. Da questa teoria “fondamentale” ne è stata ricavata una efficace
per i soli elettroni, eliminando i gradi di libertà fotonici tramite l’utilizzo dell’integrale di cammino per sistemi a molti corpi. Gli accoppiamenti efficaci generati da questa procedura sono stati valutati fornendo un’analisi dettagliata nello spazio reale dei contributi
a corto e a lungo raggio, dedicando particolare attenzione ai primi. Inoltre, abbiamo eseguito un confronto tra le ampiezze di scattering dei
processi indotti dal campo alla scala reticolare in presenza ed in assenza di cavità. A questo fine siamo ricorsi alla teoria della rinormalizzazione, indispensabile per rendere predittiva l’elettrodinamica quantistica, anche nel caso non relativistico. Infine per stimare gli effetti del campo sulla transizione abbiamo calcolato il diagramma di fase della
teoria efficace in approssimazione di campo medio (Hartee-Fock), risolvendo le equazioni di gap tramite integrazione numerica.
Seguendo questa procedura abbiamo ottenuto che il campo elettromagnetico di cavità genera sia interazioni efficaci tra elettroni, sia una rinormalizzazione del parametro di
“hopping”. Questi due effetti sono dovuti rispettivamente al termine paramagnetico e al termine diamagnetico della teoria “fondamentale”. L’interazione efficace ottenuta
esibisce, alla scala reticolare, tre diverse tipologie di termini che hanno effetti sulle instabilità SDW e CDW. Nello specifico si ha: 1) un termine di interazione magnetica
del tipo di quella che appare nel modello di Ising quantistico antiferromagnetico; 2) un termine densità-densità tra primi vicini; e, infine, 3) un termine di interazione che ammette il tunneling tra secondi vicini (non di tipo densità-densità). Il primo di questi
agisce sull’instabilità SDW, gli altri due sull’instabilità CDW, tutti gli altri accoppiamenti non hanno effetti su queste instabilità (in approssimazione di campo medio).
Per questi tre accoppiamenti efficaci e per il parametro di “hopping” abbiamo ottenuto analiticamente delle espressioni esatte parametrizzate dalla distanza fra gli specchi della cavità e dal “cut-off ” ultravioletto sull’energia dei fotoni. Nella nostra descrizione questi
due parametri, che dipendono dalle caratteristiche di costruzione della cavità, determinano il massimo numero di modi confinati. Per gli accoppiamenti efficaci a lungo raggio, invece, abbiamo ottenuto sia un’espressione analitica esplicita nel caso di descrizione monomodale del campo, sia una formula chiusa, risolvibile tramite una semplice
quadratura numerica, nel caso di descrizione multimodale. Il confronto tra fluttuazioni in presenza e in assenza di cavità ci ha portato a un risultato importante: la natura “discretizzata” dei modi del campo in cavità non è causa di amplificazione dell’accoppiamento se
non accompagnata da effetti di campo vicino, più tipici delle cavità nanoplasmoniche che di quelle di Fabry-Pérot. Tali effetti sono solitamente tenuti di conto solo tramite un fattore semi-empirico di compressione del volume, facilmente introducibile anche
nel nostro lavoro, ma non sempre teoricamente ben giustificato.