• formula di Tanaka
• local time
• Matlab
• moto Browniano riflesso
• simulazioni

L'obiettivo di questo lavoro è sviluppare un modello per descrivere l'evoluzione del carcinoma duttale. Il carcinoma duttale è un carcinoma che si origina all'interno del dotto del seno femminile. Possiamo immaginare il dotto con un cilindro. Le sue pareti sono costituite di cellule epiteliali e il suo interno, in condizioni normali, è vuoto. Chiamiamo le pareti del dotto membrana basale. Se, durante la normale proliferazione delle cellule epiteliali, viene generata una cellula anomala, chiamata cellula tumorale, si origina il carcinoma duttale. La cellula tumorale può proliferare generando altre cellule tumorali, libere di muoversi. Inizialmente le cellule sono obbligate a rimanere all'interno del dotto, questa fase si chiama carcinoma in situ. Esiste un'altra fase successiva, chiamata carcinoma invasivo, in cui le cellule tumorali riescono ad uscire dal dotto e danno origine alle metastasi. Per descrivere un modello di questo carcinoma studiamo il moto Browniano riflesso. Supponiamo, infatti, che il movimento delle cellule tumorali sia modellizzato dal moto Browniano. Nel momento in cui le cellule incontrano la membrana basale il moto Browniano viene respinto, cioè si riflette.
Nel primo capitolo definiamo il moto Browniano riflesso. Analizziamo in dettaglio la teoria relativa al Local Time e alla formula di Itô Tanaka in dimensione 1 e la generalizziamo al caso in dimensione arbitraria. Definiamo inoltre il moto Browniano riflesso con un potenziale. Consideriamo una successione di processi stocastici che sono somma di un moto Browniano e di una funzione potenziale, il cui limite debole è il moto Browniano riflesso. L’ analogia tra il moto Browniano riflesso e la successione di processi stocastici ci permette di avere un processo più facile da simulare.
Nel secondo capitolo studiamo il legame che c'è tra il moto Browniano riflesso e l'equazione del calore con condizione di Neumann al contorno. Vediamo che il moto Browniano riflesso ha densità e che la densità è soluzione dell'equazione del calore con condizione di Neumann al contorno. Inoltre studiamo il limite macroscopico per capire il comportamento di un insieme molto grande di cellule tumorali e il legame tra il moto di queste cellule e l'equazione del calore.
Nel terzo capitolo diamo una breve introduzione biologica del carcinoma duttale e definiamo un modello matematico. Inoltre facciamo alcune simulazioni del modello attraverso il software Matlab. Consideriamo inizialmente il moto Browniano con potenziale e definiamo una funzione che regoli le interazioni tra cellule, l'interazione repulsiva che impedisce la loro sovrapposizione e l'interazione attrattiva che le cellule hanno tra loro. Successivamente sostituiamo la funzione potenziale con una funzione che regoli la repulsione esercitata dalle cellule epiteliali sulle cellule tumorali per mantenere quest'ultime all'interno del dotto. Iniziamo definendo un modello del carcinoma duttale in situ fino ad arrivare a definire un modello completo, in cui le cellule tumorali possono rompere la membrana basale e uscire dal dotto. Simuliamo il modello col software Matlab e generiamo a tempi diversi le configurazioni delle cellule del tumore. Osserviamo che le configurazioni generate a tempi diversi sono quelle che ci aspettavamo osservando le immagini biologiche delle diverse fasi del carcinoma duttale.