• Poisson point process time-inhomogeneous
• processi puntuali di Poisson non omogenei

Le eruzioni vulcaniche rappresentano un grande pericolo naturale nelle regioni altamente popolate. Con il passare del tempo, l'espansione della popolazione e del turismo in zone in cui sono presenti caldere attive, ha reso importante lo studio di modelli matematici che descrivono eventi di tipo vulcanico.
La previsione a breve termine in vulcanologia è intesa come una stima relativamente precisa e affidabile di finestre spazio-temporali in cui vi è un'alta probabilità di eventi vulcanici futuri. Tali previsioni possono essere realizzate utilizzando opportuni strumenti matematici e la conoscenza delle misurazioni di opportuni parametri geofisici e geochimici.
Lo scopo di questo lavoro è stato quello di studiare strumenti matematici che si prestino bene a descrivere questo tipo di eventi vulcanici da un punto di vista probabilistico, ottenuti tramite particolari tipi di processi stocastici.
Questa tesi si divide in due parti. La prima è puramente teorica e vengono studiati a fondo dei particolari processi le cui caratteristiche si prestano bene a descrivere fenomeni naturali di questo tipo. La seconda parte è dedicata alla costruzione esplicita di programmi atti alla simulazioni di eventi vulcanici nella zona dei Campi Flegrei, presso Napoli.
Il primo capitolo è dedicato allo studio dei processi di Poisson omogenei e non: vengono presentate delle loro importanti proprietà che sono necessarie sia per la simulazione esplicita di questo tipo di processi, sia per avere le basi teoriche atte a sviluppare la teoria successiva.
Il secondo capitolo sviluppa la teoria delle misure aleatorie di Poisson e dei processi puntuali di Poisson temporalmente omogenei.
Il terzo capitolo si occupa della descrizione di processi puntuali di Poisson temporalmente non omogenei e della loro esistenza. Il motivo per cui sono stati studiati è che il susseguirsi delle eruzioni nei periodi noti non è statisticamente stazionario, come invece risulterebbe nei processi puntuali di Poisson omogenei. Quindi questo tipo di processi ci è sembrato più realistico. Lo sviluppo di tale teoria (per il caso non omogeneo) è frutto di elaborazioni personali, non essendo stata rintracciata sui testi a disposizione.
L'ultimo capitolo è quello riguardante la parte applicativa di questa tesi. Vengono descritti vari modelli utilizzati per fare delle simulazione spaziali, temporali e spazio-temporali delle possibili eruzioni nella zona dei Campi Flegrei. Il grande interesse che ultimamente sta ricevendo questa zona, deriva dal fatto che, nonostante il tempo tra due eruzioni sia molto elevato, tale regione sia densamente popolata e quindi la pericolosità diventi molto elevata.
Il primo modello sviluppato è stato il modello temporale, che simula esclusivamente la successione dei tempi di eruzione di un possibile processo vulcanico. A causa della distribuzione disomogenea dei tempi delle eruzioni conosciute per i Campi Flegrei, è stato scelto di simulare un processo di Poisson non omogeneo.
Il secondo modello è invece di tipo spaziale, atto quindi a generare la posizione nello spazio delle eruzioni. Si basa su un processo puntuale di Poisson stazionario nel tempo, in cui l'intensità nello spazio dell'evento simulato non è omogenea, ma calcolata in base alle posizioni degli eventi vulcanici nei Campi Flegrei.
Questo secondo modello non è però soddisfacente per una simulazione spazio-temporale, a causa della distribuzione disomogenea dei tempi delle eruzioni conosciute, che non può essere simulata con un processo stazionario nel tempo. Per questo sono stati sviluppati due ulteriori modelli, che sfruttano la generalizzazione fatta nel terzo capitolo dei Processi di Puntuali Poisson a processi non omogenei nel tempo.
Il terzo modello introdotto è un processo puntuale di Poisson non omogeneo, la cui intensità si rifà alle intensità dei due modelli precedenti; infatti è data dal prodotto dell'intensità spaziale del secondo modello e di quella temporale del primo modello.
Il quarto modello simula sempre un processo puntuale di Poisson non omogeneo su R^2, ma in questo caso l'intensità spazio-temporale non risulta pi\`u un'intensità prodotto ma è stata creata a partire da osservazioni personali sui dati disponibili. Questo modello è capace di fornire delle previsioni accurate, ma è vincolato all'avverarsi in futuro di condizioni spaziali troppo simili a quelle del passato, cosa non così ovvia viste le differenze spaziali tra le tre epoche note.
Per ovviare a questo problema, nell'ultimo modello viene introdotto un ulteriore fattore di aleatorietà: l'intensità spazio-temporale del processo simulato è a sua volta un processo stocastico, e quindi viene determinata inizialmente come parte della simulazione, per poi essere usata nel modello precedente.