• divergenza
• Fourier
• Hausdorff
• prevalenza
• serie

Il punto di partenza di questa tesi è il celebre teorema di Carleson e Hunt, secondo il quale, posto T=R/Z e scelto p in (1,+∞), la serie di Fourier di ogni funzione f di L^p(T) converge puntualmente quasi ovunque a f. Sotto certi aspetti, questo risultato è il migliore che si possa ottenere, poiché è noto che esistono funzioni p-sommabili su T, la cui serie di Fourier diverge in almeno un punto.
Tuttavia l'insieme dei punti di divergenza di una funzione p-sommabile, seppure di misura nulla, può essere analizzato più dettagliatamente da diversi punti di vista: se ne può indagare la dimensione di Hausdorff, e se ne possono classificare i punti x a seconda di quanto rapidamente le somme parziali S_nf(x) divergono in valore assoluto: un classico risultato di S. M. Nikolsky assicura, ad esempio, che |S_nf(x)|≤ cn^(1/p)║f║_p per ogni f di L^p(T) e per ogni x in T, ma per certi punti la divergenza delle somme parziali potrebbe essere di ordine minore di 1/p. Seguendo le linee di due articoli di Bayart e Heurteaux, definiamo l'indice di divergenza di un punto x in T rispetto a una funzione f di L^p(T) come l’estremo inferiore dei numeri β tali che S_nf(x)=O(n^β); analizzeremo attraverso l'uso della misura di Hausdorff gli insiemi di livello E(β,f), cioè gli insiemi dei punti x di T il cui indice di divergenza è β. Dimostreremo che per 1 < p < ∞ e β in [0,1/p] risulta che la dimensione di Husdorff di E(β,f) è 1-βp per ogni f al di fuori di un insieme (dipendente da β) di prima categoria in L^p(T).
Ci occuperemo poi del caso p=1, in cui il teorema di Carleson-Hunt non vale, e addirittura vi è un teorema di Kolmogorov che garantisce l'esistenza di una funzione di L^1(T) la cui serie di Fourier diverge in ogni punto di T.
Dimostreremo che per β in [0,1] risulta che la dimensione di Hausdorff di E(β,f)=1-β per ogni f al di fuori di un insieme (dipendente da β) di prima categoria in L^1(T).
Nel caso p = ∞ si considera lo spazio C(T), e qui le cose cambiano. Anzitutto, in questo spazio si ha |Snf(x)|≤ c║f║_∞ log n per ogni f in C(T) e per ogni x in T: siamo dunque alla presenza di singolarità di tipo logaritmico, e
di conseguenza, rimpiazzando nella costruzione sopra la divergenza polinomiale con quella logaritmica, siamo ricondotti allo studio degli insiemi F(β,f), cioè gli insiemi dei punti x di T per cui β è l’estremo inferiore dei numeri α tali che S_nf(x) =O[(log n)^α]. In C(T) risulterà che la dimensione di Hausdorff di F(β,f)=1 per ogni β in [0,1], e per ogni f al di fuori di un insieme (dipendente da β) di prima categoria in C(T). Considereremo poi misure di Hausdorff H^ϕ associate a funzioni ϕ: [0,1)→ [0,1) continue, crescenti in un intorno di zero e nulle in 0 (le funzioni dimensione) di tipo particolare, che forniranno una misura precisa degli insiemi F(β,f).
La “grandezza" di un insieme di funzioni di L^p(T) o C(T) può essere valutata
anche da un altro punto di vista. Diciamo che un sottoinsieme boreliano A di uno spazio vettoriale metrico completo X è timido, secondo la definizione di Hunt, Sauer e Yorke, se esiste una misura di probabilità μ, avente supporto compatto, tale che μ(x+A)=0 per ogni x in X; un sottoinsieme E di X si dice timido se esiste un boreliano timido che lo contiene. Un sottoinsieme F di X è invece detto prevalente se il complementare di F è timido. Discuteremo questa nozione e la applicheremo alla divergenza delle somme di Fourier, dimostrando che se
p≥1, per ogni β in [0, 1/p] l'insieme delle funzioni f di L^p(T) tali che la dimensione di Hausdorff di E(β,f)=1-βp è prevalente.
Nel caso di C(T), proveremo che, fissata δ_n infinitesima e positiva, la relazione
lim sup_(n→∞) (|Snf(x)|)/(δ_n logn)=∞ per ogni x in E, vale su un insieme E (dipendente da f) con dimensione di Hausdorff 1, per ogni f al di
fuori di un insieme di prima categoria e timido in C(T).