• modello agli elementi finiti
• edifici esistenti in muratura
• calcolo numerico
• terrestrial laser scanner
• analisi strutturale

Gli edifici storici in muratura rappresentano nel nostro paese un patrimonio culturale di grande valore, di cui innumerevoliesempi di grande pregio si trovano sparsi su tutto il territorio nazionale.L’incolumità di tali edifici spesso risulta in pericolo a causa di molteplici fattori, quali il degrado dovuto al tempo o agli eventi meteorologici, eventi sismici e inquinamento. Per queste ragioni la salvaguardia degli edifici di questo tipo è diventata un argomento di grande interesse e i ricercatori stanno dunque sviluppando metodologie di rilievo e analisi che permettano di studiarne il comportamento, in modo da pervenire danni e crolli.È in questo panorama che si inserisce la tesi in oggetto, che riguarda lo studio della Cupola del Duomo di Pisa.
Il Duomo di Pisa fu fondato, secondo alcune fonti (vedi Adriani Peroni in “Il Duomo di Pisa”, 1995) nel 1064 e costruito secondo il progetto dell’architetto Buscheto, il quale ne seguì la realizzazione fino al 1110, presunto anno di morte, avvenuta in data 21 settembre secondo l’epigrafe sepolcrale presente nel Duomo stesso. La costruzione del Duomo, dedicato a Santa Maria, ha avuto inizio solo nel 1089ed è proseguita anche dopo la sua consacrazione, avvenuta ad opera di Papa Gelasio II nel 1118. Durante l’esecuzione il progetto originario ha subìto alcune aggiunte, ad esempio il braccio longitudinale è stato prolungato e di conseguenza la facciata è stata rifatta, ad opera dell’architetto Rainaldo; essa fu ideata tra il 1150 e il 1160 e completata entro la fine del XII secolo. Anche la loggetta esterna con gli otto arconi sottostanti sono aggiunte successive, eseguite a partire dal 1383 da Puccio di Landuccio per rinforzare la struttura, presumibilmente a seguito della comparsa di alcune lesioni nella cupola. Nello stesso anno Puccio di Landuccio fornì il progetto in seguito utilizzato, tra il 1385 e il 1388, per la costruzione dei pennacchi. Dopo molti anni dal termine della costruzione, il 24-25 ottobre 1595 un gigantesco incendio si propagò dai tetti, provocando ingenti danni che richiesero importanti opere di restauro, eseguite durante il 1600. Nei secoli successivi sono stati necessari altri restauri: tra il 1824 e il 1839 per eliminare gli ultimi residui dei danni causati dall’incendio; tra il 1922-1923 per riqualificare il manto esterno della cupola e le pitture interne; tra il 1957 e il 1959, ad opera di Piero Sanpaolesi, che rimosse cornici e pitture seicentesche riportano in vista i pennacchi.
Il restauro eseguito dal Sanpaolesi ha riguardato principalmente la cupola, che riveste una certa importanza in quanto considerata la prima cupola estradossata ideata e costruita in Europa. Essa presenta un pianta ellittica, che evolve dalla sottostante pianta ottagonale grazie alla presenza dei pennacchi a tromba conica che addolciscono il passaggio ad una forma tondeggiante. La base della cupola è individuata dalla posizione del ballatoio, immediatamente al di sopra del tamburo costituito interamente da calcare di San Giuliano. Il tratto iniziale della cupola presenta un andamento curvo all’intradosso ma verticale all’estradosso, fino a circa 1,5 m al di sopra del ballatoio, che diventa poi curvo a sua volta e parallelo all’intradosso. La cupola è interamente costituita da mattoni medievali, di dimensione indicativa 26x13x6 cm, e presenta uno spessore costante di circa 60 cm, ed è esternamente ricoperta da un manto di lastre di piombo dello spessore di 3 mm.
Per poter studiare il comportamento della cupola, un ruolo importante è stato rivestito dalla scelta delle metodologie di rilievo e analisi da utilizzare. Sono state prese in considerazione alcune delle metodologie esistenti, che sono molteplici e varie, esaminando una parte dei contributi recenti nella letteratura scientifica riguardo l’analisi strutturale di edifici storici. Nello studio di un edificio storico, il primo problema da affrontare è la ricostruzione della sua geometria. Questi edifici infatti sono caratterizzati spesso da forme complesse e non del tutto regolari, e la mancanza di progetti complica ulteriormente il compito. I disegni che talvolta è possibile reperire non sono certamente sufficienti per una descrizione esaustiva, dunque è necessario rilevare la geometria in situ. Tra i metodi di rilievo quello ad oggi più utilizzato è il Terrestrial Laser Scanner (TLS), il quale permette di ricavare milioni di coordinate di punti orientati rispetto ad un sistema di riferimento centrato sullo strumento, tramite la misurazione del tempo di volo di un raggio laser, restituendo una cosiddetta “nuvola di punti”. Queste misure vengono talvolta integrate tramite Aerial Laser Scanning (ALS), strumento che adotta lo stesso principio di funzionamento, ma stazionando su un aereo. Prima dello sviluppo di queste tecniche, lo strumento di rilievo più usato era la fotogrammetria, ancora usata in alcuni casi per ottenere immagini realistiche delle strutture studiate; essa si basa sull’uso di fotogrammi, ripresi da punti diversi.Un’altra problematica che si riscontra riguarda la conoscenza dei materiali, che in questo tipo di strutture possono essere di caratteristiche piuttosto varie, e avere un’orditura e uno stato di degrado interno anche molto diversi gli uni dagli altri.I test da effettuare per migliorare la conoscenza delle caratteristiche dei materiali devono essere non distruttivi o moderatamente distruttivi, per non danneggiare edifici di interesse storico; test di questo tipo sono ad esempio prove soniche e ultrasoniche, georadar, endoscopie, carotaggi e martinetti piatti. le prime tre prove sono di tipo non distruttivo e basano il loro funzionamento sull’emissione di onde soniche o impulsi elettromagnetici (nel caso del georadar), che in funzione della loro velocità di attraversamento danno indicazioni sul danneggiamento interno e sulla presenza di vuoti. Le altre tre prove citate, invece, sono prove moderatamente distruttive: le endoscopie permettono di indagare la stratigrafia interna tramite un piccolo foro nella muratura; i carotaggi permettono di estrarre un cilindro di muratura del diametro di qualche centimetro, che consente di fare test in laboratorio sulla resistenza del materiale, oltre che di esaminare la stratigrafia interna dei paramenti; i martinetti piatti permettono di stimare lo stato tensionale interno e il modulo elastico della muratura, tramite la misura di pressioni e deformazioni provocate dal pompaggio di olio all’interno, in seguito al loro inserimento nel muro. Una volta indagate le caratteristiche geometriche e meccaniche dell’edificio è possibile creare un modello strutturale, operazione eseguita solitamente con metodi agli elementi finiti. Per creare modelli di questo tipo è necessario utilizzare software come Abaqus® o Ansys®, sui quali la geometria trovata viene caricata e divisa in elementi di mesh, che possono essere di tipo solido o guscio, di forma esaedra o tetraedra, e di grandezza a scelta.Queste tecniche sono state utilizzate negli anni per un gran numero di indagini su edifici storici in muratura, come lo studio della fortezza di San Felice sul Panaro, della cupola del Brunelleschi a Santa Maria del Fiore, la chiesa di San Torcato, il Battistero di San Giovanni in Tumba, la Cattedrale di Modena e molti altri.
Nel caso della Cupola del Duomo di Pisa, la geometria è stata rilevata tramite Terrestrial Laser Scanner. Questa tecnica garantisce una grande accuratezza del rilievo tridimensionale, la possibilità di stazionare con lo strumento anche a molto metri di distanza dall’oggetto da rilevare, e un tempo di esecuzione ridotto. Il risultato delle misure è una cosiddetta “nuvola di punti”, ovvero un insieme di milioni di coordinate che descrive in maniera dettagliata la geometria dell’edificio. Questo rilievo è stato eseguito sia sull’interno che sull’esterno della cupola; le scansioni esterne sono state realizzate sia da terra che da sopra le impalcature. Le scansioni fatte dalle impalcature tutto intorno all’estradosso della cupola hanno richiesto un lavoro di co-registrazione per rototraslare in un sistema di riferimento unico le nuvole di punti, creandone una unica. In seguito tutte le scansioni esterne ed interne sono state riferite a un unico sistema di riferimento a terra. Per verificare la bontà dei dati raccolti sono stati fatti alcuni controlli tramite sezioni della nuvola di punti, nelle quali è stato possibile notare se alcuni punti si discostassero troppo dalla media. Sono state trovate due scansioni da impalcatura i cui risultati non erano attendibili, probabilmente a causa del supporto instabile dato dalle stesse impalcature, di conseguenza queste sono state scartate. Prima di poter utilizzare la nuvola di punti è stato necessario eseguire un operazione di pulizia dalle immagini delle impalcature che circondavano la cupola, e da tutti gli elementi diversi dalla cupola stessa. L’esportazione dei dati geometrici è avvenuta tramite sezioni della nuvola di punti, riportate su software AutoDESKAutoCAD.
Il rilievo delle caratteristiche meccaniche è avvenuto tramite endoscopie, carotaggi, e prove con martinetti piatti. Le endoscopie sono state realizzate eseguendo un foro nella muratura e inserendovi una sonda endoscopica che permettesse di vedere e registrare la stratigrafia interna.In totale sono state eseguite trentuno endoscopie sia all’intradosso che all’estradosso; i fori sono stati effettuati tramite trapano a percussione di diametro  pari a 16 mm, con punte di lunghezza 40 cm o 80 cm, in base alle necessità. Solo in alcuni casi è stato necessario usare un trapano a rotazione per evitare il rischio di danneggiare i dipinti. I carotaggi sono stati realizzati con carotatrice a rotazione raffreddata ad aria con una tazza di diametro 5 cm e lunghezza 40 cm. I carotaggi realizzati sono quattro, tutti compiuti all’intradosso. Grazie a carotaggi ed endoscopie è stato possibile appurare che la cupola è interamente costituita da muratura a quattro teste di mattoni medievali, di dimensioni indicative 26x13x5 cm. Tale orditura è risultata piuttosto irregolare,mentre le osservazioni hanno mostrato che lo spessore della cupola è circa costante, rimanendo sempre intorno ai 60 cm.Le prove con martinetti piatti singoli sono state eseguite in corrispondenza dei quattro punti cardinali e nei punti di indagine a ovest e sud sono state effettuate anche prove con martinetti doppi; tutte le prove con martinetti piatti sono state compiute all’estradosso.I martinetti utilizzati sono costituiti da due lamiere in acciaio sottili saldate di forma simile a un semicerchio, di dimensioni massime 345 x 225 x 3 mm; esse sono collegate ad un circuito idraulico che permette di pomparvi olio all’interno. Il funzionamento della prova di basa sul principio secondo cui, eseguendo un taglio nella muratura, avviene un rilascio di tensioni che provoca la parziale chiusura del taglio stesso; inserendo all’interno il martinetto e pompandovi olio, è possibile ripristinare la distanza iniziale tra i lembi del taglio applicando una pressione pari alla tensione interna presente nel muratura prima del taglio. Per controllare gli spostamenti dei lembi del taglio vengono applicati alcuni punti di controllo a cavallo di questo, la cui distanza è misurata attraverso un calibro, prima e dopo il taglio e durante il pompaggio dell’olio. In questo modo è stato possibile stimare le tensioni di compressione presenti nel quattro punti, che sono risultate: 0,04 MPa nella prova Nord; 0,34 MPa nella prova Ovest; 0,05 MPa nella prova Est; 0,07 MPa nella prova Sud. Nelle zone Ovest e Sud sono state eseguite, in aggiunta, le prove con martinetti doppi. Queste consistono nell’eseguire un altro taglio parallelo al primo, a una distanza di circa 50 – 60 cm, per inserirvi il secondo martinetto. Pompando olio nel martinetto a intervalli regolari di pressione e misurando le deformazioni conseguenti, è stato possibile costruire un diagramma tensioni – deformazioni, da cui è stato ricavato il modulo elastico approssimato della muratura, pari a 3000 MPa. Avendo posizionato anche due punti di controllo allineati con i taglio, è stato possibile stimare per varie sollecitazioni, anche i coefficienti di dilatanza, di cui è stata considerato il valore medio, pari a 0,238.
I valori del modulo elastico e del coefficiente di dilatanza trovati sperimentalmente sono stati inseriti nel modello numerico, per la caratterizzazione del materiale, considerando la muratura, in prima approssimazione, un solido elastico lineare, omogeneo e isotropo. Il modello numerico della cupola è stato sviluppato in forma parametrica, in modo da poter modificare in maniera semplice forma e passo del reticolo. La geometria della cupola è stata costruita utilizzando le espressioni analitiche, basate sui rilievi in situ, fornite da una tesi appena conclusa (“Equilibrio di cupole ogivali in muratura a base ovale: il caso di studio della cupola del Duomo di Pisa”, F. Barsi), che delineano con buona approssimazione la forma della cupola. A partire dalla geometria descritta da tali equazioni, è stato possibile generare un reticolo di punti, intersezione sulla cupola di dodici piani orizzontali a passo di un metro, e di sedici piani verticali che dividono l’angolo giro in trentadue parti uguali. Questa prima modalità di divisione ha creato un modello con volumi poco uniformi: il rapporto tra altezza e base aumentava sensibilmente andando dalla base alla sommità. Tale differenza avrebbe causato una diversa precisione di analisi, poiché ogni volume è stato diviso nello stesso numero di elementi di mesh, dunque le sezioni con piani orizzontali sono state sostituite con sezioni effettuate tramite piani perpendicolari in ogni punto al meridiano intersecato. I punti così generati sono stati inseriti nel software Ansys® tramite le loro coordinate, in modo da poter generare un modello a elementi solidi, utilizzando i punti di intradosso ed estradosso, e un modello a elementi guscio, utilizzando i punti medi tra intradosso ed estradosso.Tale reticolo è stato numeratoutilizzando un metodo che permettesse di risalire alla posizione di ogni punto: le ultime due cifre di ogni numero identificativo indicano il parallelo di appartenenza, mentre le prime (una o due cifre) indicano il meridiano.Nel modello solido, tramite questo tipo di numerazione è stato possibile definire, attraversocomandi ciclici, linee, aree e volumi che costituiscono il modello stesso. Tutti i cicli dipendono da due variabili, i, che varia tra 1 e il numero totale di paralleli (11), e j, che varia tra 1 e il numero totale di meridiani (32). Ogni ciclo è stato inoltre scritto in modo da dipendere solo da alcuni parametri definiti a inizio file, come il numero di meridiani e paralleli o il passo di numerazione degli stessi, in modo che per cambiare il modello sia sufficiente variarne i parametri fondamentali. Nella definizione delle linee esse sono state a loro volta numerate in modo da conoscere automaticamente la posizione di ognuna, suddividendole in tre gruppi: paralleli, meridiani e congiungenti. Allo stesso modo le aree sono state suddivise tra aree della superficie interna, aree della superficie esterna, aree congiungenti i paralleli e aree congiungenti i meridiani. Infine anche la numerazione dei volumi è stata eseguita in maniera controllata, partendo da 1, all’incrocio tra primo meridiano e primo parallelo, fino a 320. Ogni elemento di volume è stato infine diviso in uno stesso numero di elementi di mesh. Gli elementi solidi assegnati ai volumi sono definiti da otto nodi, ciascuno con tre gradi di libertà, e caratterizzati da legame del materiale omogeneo e ortotropo. Alle aree di base è stato assegnato un vincolo di incastro, bloccando tutti gli spostamenti e le rotazioni, scelta che facilita una prima analisi dei risultati e il confronto tra modello a elementi solidi e modello a elementi guscio. La generazione del modello a elementi guscio è avvenuta in maniera analoga ma a partire dal reticolo dei punti medi tra intradosso e estradosso. La generazione di linee e aree ha seguito la stessa procedura del modello solido, con comandi ciclici, e le aree ottenute sono state tutte suddivise nel solito numero di elementi di mesh. Il materiale è stato definito come elastico lineare omogeneo e isotropo, assegnandovi le proprietà meccaniche trovate dalle prove in situ, e gli elementi scelti per la definizione dei gusci sono elementi a quattro nodi, con sei gradi di libertà ciascuno, adatti alla rappresentazione di materiali lineari.
Ai due modelli così generati sono state applicate le azioni del peso proprio, che rappresenta l’azione di maggior rilevanza, e del vento. In questa prima analisi l’azione sismica non è stata presa in esame, nonostante sia ragionevole ritenere che la cupola possa essere interessata da eventi di una certa intensità in caso di sisma. Dunque tali azioni non sono state prese in considerazione non perché trascurabili, ma perché il modello numerico generato, riferito alla sola cupola, non è stato ritenuto adatto a dare risultati significativi. Infatti lo schema creato della cupola è stato considerato vincolato alla base con incastro perfetto, senza modellare la cattedrale su cui in realtà la cupola sorge: ipotesi valida per studiarne il comportamento sotto carichi verticali in regime statico ma non altrettanto per lo studio di azioni dinamiche come quelle sismiche. Anche le azioni del carico neve sono state escluse da questa analisi, essendo l’inclinazione della cupola tale da non permettere l’accumulo di neve.
Per l’applicazione del peso proprio è stato sufficiente assegnare densità del materiale e direzione e intensità della gravità, perché il software ne calcolasse automaticamente il valore. Per l’applicazione dell’azione del vento, invece, sono state prese in considerazione le indicazioni contenute nelle normative NTC 2008, CNR-DT 207/2008 e Eurocodice 1 parte 1-4, considerando che la geometria della cupola non si discosta molto da una geometria emisferica. La distribuzione delle pressioni è stata assegnata calcolando la risultante delle stesse per ogni area della metà di cupola caricata, e applicando ognuna nel baricentro dell’area considerata.
L’analisi dei due modelli è stata preceduta da uno studio sulla convergenza delle soluzioni, ponendo in relazione le frequenze proprie dei primi sei modi di vibrare, con il numero di nodi del modello. È stato constatato come all’aumentare del numero di nodi utilizzati, il modello a elementi solidi converga a partire da circa 50000 nodi, mentre quello a elementi guscio a partire da circa 10000 nodi. Dunque nel modello a elementi solidi, ogni elemento di volume è stato diviso in 144 parti tramite 4 divisioni nello spessore, 6 nei paralleli e 6 nei meridiani. Nel modello shell invece ogni area è stata suddivisa in 36 elementi attraverso 6 divisioni nei paralleli e 6 nei meridiani. Lo studio dei modelli sotto le due condizioni di carico ha mostrato che gli effetti del vento sono modesti rispetto a quelli dovuti al peso proprio.Dall’analisi dei due modelli è emerso come essi restituiscano lo stesso comportamento, con valori simili di tensioni, spostamenti e frequenza proprie. Studiando le tensioni principali massima e minima è emerso che la cupola risulta compressa in direzione dei meridiani, ma la direzione delle compressioni massime varia diventando circonferenziale a un’altezza dalla base di circa 8 m, in corrispondenza degli ultimi due paralleli. Le compressioni in direzione parallela dunque sono massime in sommità, diminuendo verso la base, e al livello dell’ottavo parallelo diventano minori delle compressioni in direzione dei meridiani. È inoltre da sottolineare come le massime compressioni nei modelli a elementi solidi e shell, simili tra loro(rispettivamente 0,160 MPa e 0,163 MPa) risultino dello stesso ordine di grandezza delle compressioni stimate attraverso le prove in situ con martinetti piatti (pari a 0,34 MPa). Le trazioni invece sono molto piccole rispetto alle compressioni, tanto da poter essere considerate nulle. La zona dove sono state riscontrate le trazioni massime è un anello, situato a circa due metri di altezza dalla base, dove esse arrivano ad un valore massimo di 0,003 MPa per il modello a elementi solidi e 0,005 MPa per il modello a elementi guscio.In altri termini lungo questo anello di fatto si annullano le compressioni in direzione circonferenziale. Le sezioni lungo i piani di simmetria della cupola hanno permesso di constatare che le tensioni normali, σye σx, hanno andamento decrescente dalla sommità fino alla zona di decompressione, e in seguito nuovamente crescenti fino alla base. Tale andamento è coerente con quello trovato analizzando le tensioni principali massima e minima, e vi si riscontra la stessa fascia di decompressione, confermando che le trazioni presenti in entrambi i modelli, seppur minime, hanno direzione circonferenziale. Gli spostamenti della cupola sono tutti di abbassamento, con valori massimi di 0,27 mm per il modello a elementi solidi e 0,29 mm per il modello a elementi guscio. Infine anche le frequenze proprie risultano simili: per il primo modo di vibrare il modello a elementi solidi ha una frequenza di 17,3 Hz mentre il modello a elementi guscio di 17,4 Hz. Sono stati analizzati i primi dieci modi di vibrare e per ognuno le frequenze risultano simili nei due modelli.