• insiemi iperaritmetici
• notazioni ordinali
• predicatività
• principi di riflessione
• progressioni transfinite

La tesi parte dall'idea di Turing e Feferman di volgere in senso positivo il risultato di Goedel: se l'aritmetica di Peano del primo ordine, PA, non è in grado di dimostrare né di confutare la propria consistenza, Con(PA), allora PA + Con(PA) è una teoria dell'aritmetica più potente di PA; iterando questo procedimento (cioè considerando PA + Con(PA) + Con(PA + Con(PA)), ecc...) si ottengono teorie che sempre meglio approssimano la verità aritmetica. Per dare significato all'iterazione nel transfinito, occorre che le teorie via via ottenute siano ricorsivamente assiomatizzabili e quindi è necessario utilizzare, invece degli ordinali, una loro versione intensionale: le cosiddette notazioni ordinali.
Nella tesi si discute dunque innanzitutto il concetto di notazione ordinale, evidenziandone possibili definizioni e principali proprietà.
Si utilizzano quindi tali notazioni per la costruzione delle progressioni transfinite di teorie basate sulla consistenza o su più potenti principi di riflessione, dimostrando per queste risultati di completezza dovuti a Turing e Feferman.
Si confrontano poi le progressioni di teorie, pensate come strumento per approssimare la verità aritmetica, con l'aggiunta alla teoria degli insiemi di nuovi assiomi quali l'esistenza di un cardinale inaccessibile.
Infine si mostra come le notazioni ordinali e le progressioni transfinite di teorie possano essere utilizzate per la formalizzazione dei concetti di definibilità e dimostrabilità predicativa.